Blatt 12 - Ruhr-Universität Bochum

12. Übungsblatt zur Statistik I
Prof. Dr. Angelika Rohde, Tim Patschkowski SoSe 2015
Aufgabe 1.
(4 Punkte)
Gegeben seien zwei voneinander unabhängige Stichproben
i.i.d.
X1 , . . . , Xn1 ∼ P oiss(λ1 )
i.i.d.
Y1 , . . . , Yn2 ∼ P oiss(λ2 )
mit λ1 , λ2 > 0. Möchte man die Nullhypothese H : λ1 = λ2 gegen K : λ1 > λ2 testen, so ist die
folgende Umparametrisierung mit
η = log(λ1 /λ2 ),
ξ = log(λ2 )
sinnvoll. In diesem Fall schreibt sich das Testproblem als H : η = 0 gegen K : η > 0.
a) Zeigen Sie, dass die gemeinsame Verteilung von X1 , . . . , Xn1 , Y1 , . . . , Yn2 bzgl. der Parameter (η, ξ) eine Exponentialfamilie in den Statistiken (U, V ) mit
U=
n1
X
Xi
und
V =U+
n2
X
Yi
i=1
i=1
bildet.
b) Folgern Sie aus a), dass die Statistik V unter der Hypothese H suffizient und vollständig
ist.
c) Konstruieren Sie den gleichmäßig besten unverfälschten Test für das obige Testproblem.
Verwenden Sie dabei, dass U |V = v ∼ B(v, n1 λ1 /(n1 λ1 + n2 λ2 )) gilt.
Aufgabe 2.
(4 Punkte)
T
Es habe (X1 , . . . , Xn )
die gemeinsame Dichte fϑ mit ϑ ∈ Θ und Θ = Θ0 ∪ Θ1 . Als Verall-
gemeinerung des für Punkthypothesen definierten Neyman-Pearson Tests auf Hypothesen der
Form H : ϑ ∈ Θ0 gegen K : ϑ ∈ Θ1 betrachten wir den Test ϕ mit ϕ(x) = 1, falls
supϑ∈Θ0 fϑ (x)
1
< .
supϑ∈Θ1 fϑ (x)
c
Im Vergleich dazu betrachten wir den Likelihood-Quotienten Test. Man zeige, dass beide Tests
äquivalent sind falls c > 1 gilt.
1
Aufgabe 3.
(4 Punkte)
Betrachten Sie eine exponentialverteilte Zufallsvariable X mit Parameter λ > 0 und die Funktion
g(λ) = (λ−2)2 . Es seien x1 , . . . , x100 unabhängige Realisierungen von X und x̄ = 2 der realisierte
Stichprobenmittelwert.
a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für λ.
b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für λ gegeben g(λ) = 4.
c) Führen Sie einen Likelihood-Quotienten-Test zur Nullhypothese H : g(λ) = 4 gegen
K : g(λ) 6= 4 zum Signifikanzniveau α = 0, 05 durch.
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
0
Sei Θ ⊂ Θ eine Teilmenge des Parameterraums und α ∈ [0, 1]. Ein Test ϕ heißt α-ähnlich auf
Θ0 , falls seine Gütefunktion βϕ die Gleichung βϕ (ϑ) = α für alle ϑ ∈ Θ0 erfüllt.
Sei nun ϑ = (ϑ1 , . . . , ϑd )T ∈ Θ ⊂ Rd und ϕ ein unverfälschter Test zum Niveau α für die
Hypothesen Θ0 = {ϑ ∈ Θ : ϑ1 = ϑ01 } gegen Θ1 = {ϑ ∈ Θ : ϑ1 6= ϑ01 } mit stetiger Gütefunktion.
Zeigen Sie, dass ϕ dann α-ähnlich auf Θ0 ist.
Abgabetermin: Montag, 13. Juli 2015 vor Beginn der Vorlesung.
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