Ubungen zur Vorlesung Randomisierte

Rolf Wanka
Alexander Raß, Moritz Mühlenthaler
Erlangen, 23. Mai 2016
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
SS 2016
Blatt 5
AUFGABE 11:
Betrachten Sie das Independent Set Problem IS, das wir in der Vorlesung bereits mit dem Sample&
Modify-Ansatz bearbeitet haben.
Sei G = (V, E) ein Graph. α(G) bezeichne die Größe einer größten unabhängigen Knotenmenge
in G. Der Sample&Modify-Ansatz der Vorlesung lieferte α(G) ≥ |V |2 /(4 · |E|).
(a) Ziel ist es, durch Anwendung der Probabilistischen Methode folgende Beziehung zu zeigen:
α(G) ≥
∑ deg
u∈V
1
G (u) + 1
degG (u) bezeichnet dabei den Grad des Knotens u, also die Anzahl seiner Nachbarn.
Würfeln Sie für die Knoten eine totale Ordnung ≺ . Sei U = {u | {u, v} ∈ E ⇒ u ≺ v}.
(i) Berechnen Sie die erwartete Kardinalität der Menge U.
Hinweis: Nutzen Sie die Indikator-Variable
(
1 u∈U
Xu =
0 sonst.
(ii) Zeigen Sie, daß U eine unabhängige Menge ist.
(b) Entwerfen Sie auf der Basis von (a) einen Algorithmus P ROB IS für IS, der für den Eingabe1
graphen eine unabhängige Knotenmenge U ausgibt mit E[|U|] = ∑u∈V deg (u)+1
. InsbesonG
dere müssen Sie sich überlegen, wie Sie die Menge U bestimmen.
AUFGABE 12:
Zur Erinnerung an Aufgabe 3 von Blatt 1:
Das S AMMELALBUM -P ROBLEM (engl.: Coupon Collector’s Problem) ist folgendermaßen definiert: Das Sammelalbum enthält für N Klebebilder Felder. Die Bilder werden im Handel in undurchsichtigen Tüten verkauft, in denen k nicht notwendigerweise verschiedene Bilder enthalten sind. Der Hersteller garantiert, daß alle Bilder mit
gleicher Wahrscheinlichkeit vorkommen. Gesucht ist nach der Zahl T der Tüten, die
gekauft werden müssen, um alle Felder des Sammelalbums voll zu bekommen.
In dieser Aufgabe wollen wir den Fall k = 1 analysieren.
T ist also eine Zufallsvariable. Sei C1 ,C2 , . . . ,CT die Folge der Bilder, wie sie gekauft werden. Ci ist
erfolgreich, wenn Ci ein bislang noch nicht vorhandenes Bild ist, also Ci 6= Ck für k ∈ {1, . . . , i − 1}.
C1 und CT sind immer erfolgreich.
Die Folge der Käufe nach dem j-ten Erfolg bis zum ( j + 1)-ten Erfolg inklusive nennen wir die
j-te Epoche, und die Anzahl der gekauften Bilder in Epoche j bezeichnen wir mit T j .
Bezeichne p j die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Kaufs in Epoche j.
(a) Bestimmen Sie p j .
T j ist geometrisch verteilt. In Aufgabe 6 auf Blatt 2 haben wir den Erwartungswert und die Varianz
für derartige Zufallsvariablen berechnet.
(b) Bestimmen Sie E[T ] und Var[T ].
n
1
π2
1
Für eine letzte Abschätzung dabei nutzen Sie ln n ≤ ∑ ≤ ln n + 1 und ∑ 2 ≤
6
i=1 i
i=1 i
n
(c) Sei γ > 1 eine beliebige Konstante. Benutzen Sie die Tschebyscheffsche Ungleichung, um
eine obere Schranke für Pr[T > γ · E[T ]] zu berechnen.
(d) Bestimmen Sie nun
Pr[Bild i wurde nicht bei den ersten r Käufen erworben]
Wie müssen Sie r (wir nennen es r̂) wählen, damit diese Wahrscheinlichkeit kleiner als n−β
für beliebiges, fest vorgegebenes, konstantes β > 1 ist? Wie ist das Verhältnis von E[T ]
und r̂ ?
1 x
≤ e−1 , entsprechend angepaßt,.
Nutzen Sie 1 −
x
(e) Schätzen Sie nun mit Ihren Ergebnissen Pr[T > r̂] ab.