Mathematische Statistik

SS 2006
Mathematische Statistik
H. Walk, A. Meister
Blatt 10
Aufgabe 36. Die unabhängigen identisch verteilten nichtnegativ-reellen Zufallsvariablen X1 ,
X2 , . . . mit Realisierungen x1 , x2 , . . . sollen eine Dichte f besitzen. F sei die zugehörige Verteilungsfunktion. Die Hasardrate h wird definiert durch
h(x) :=
f (x)
,
1 − F (x)
falls der Nenner 6= 0 . Aufgrund der Beobachtungen x1 , . . . , xn werde h(x) durch
hn (x1 , . . . , xn ; x) :=
fn (x1 , . . . , xn ; x)
Rx
1 − fn (x1 , . . . , xn ; t)dt
0
geschätzt, wobei der Zähler die Rosenblatt-Parzen-Schätzung von f (x) sei. Man untersuche die
Schätzfolge für die Hasardrate auf punktweise universelle Konsistenz.
Aufgabe 37. Zu beobachteten (d + 1)-dimensionalen Zufallsvektoren (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) setze
man bei einer Kugel S um 0 und hn > 0 für x ∈ Rd die reelle Zahl a = a(x) so an, dass die
Fehlerquadrate-Summe
n
X
(ai − yi )2 Ixi +hn S (x)
i=1
minimiert wird. Man zeige, dass der lokal-konstante Regressionsschätzer
n
P
i=1
ai (x)Ixi +hn S (x)
(Spezialfall eines lokal-polynomialen Regressionsschätzers) mit dem Nadaraya-Watson-Schätzer
(mit Kern K = IS ) übereinstimmt. Man behandle die entsprechende Frage für die PartitionenRegressionsschätzung.
Aufgabe 38. Für die Folge (m
b n ) der Kernschätzer von Devroye-Wagner zeige man bei unabhängigen identisch verteilten (d + 1)-dimensionalen Zufallsvektoren (X1 , Y1 ), (X2 , Y2 ), . . . mit
EYi2 < ∞ im Falle K = IS (S offene oder abgeschlossene Kugel um 0 mit endlichem positivem
Radius) und
X
hn → 0,
hdn = ∞ ,
dass für µ-fast alle x ∈ Rd (µ Verteilung von Xi )
m
b n (X1 , Y1 , . . . , Xn , Yn ; x) → m(x) := E(Yi |Xi = x)
nach Wahrscheinlichkeit konvergiert.
Für beschränktes Yi schließe man dann auf Quadratmittel-Konsistenz bzgl. µ.
Hinweis: Analog zum Beweis von Satz 6.2 verwende man Lemma 6.2, Lemma 6.3, ferner die
folgende Verallgemeinerung des Cauchyschen Grenzwertsatzes auf den Fall gewichteter Mittel:
Falls pn > 0 (n ∈ N), p1 + . . . + pn → ∞ (n → ∞),
dann gilt für jede gegen s ∈ R konvergente
Zahlenfolge (sn ) in R die Beziehung
(p1 s1 + . . . + pn sn )/(p1 + . . . + pn ) → s (n → ∞).
Aufgabe 39. Für den Nadaraya-Watson Regressionsschätzer mit sogenanntem naivem Kern
K = IS (S Kugel um 0) gebe man 2 weitere äquivalente Darstellungen an, bei denen 0/0 nicht
auftritt.
Hinweis: Im Nenner steht ein Ausdruck der Form 1 + ... bzw. max{1, ...}.
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