Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für
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INSTITUT FÜR STOCHASTIK UNIVERSITÄT KARLSRUHE Dr. B. Klar WS 2007/08 Blatt 10 Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik für Studierende der Informatik Aufgabe 33: An einem Messgerät werden bei unabhängigen Messungen folgende Abweichungen vom exakten Wert ermittelt: 0.3, 1.3, 2.8, −1.8, 2.2, −0.9, 0.8, 1.4, −1.3, −1.0 . Man nimmt an, dass die Abweichung N (0, ϑ)-verteilt ist mit der unbekannten Varianz ϑ > 0. a) Zeigen Sie, dass n 1 X 2 x = (x1 , . . . , xn ) → ϑ̂(x) := · x n j=1 j ein Maximum-Likelihood-Schätzer für die unbekannte Varianz ϑ ist. Welcher Schätzwert ergibt sich mit den obigen Daten ? b) Ist ϑ̂ ein erwartungstreuer Schätzer für ϑ ? c) Seien die unabhängigen Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xn N (0, ϑ)-verteilt. Bestimmen Sie die Varianz von ϑ̂(X1 , . . . , Xn ). Aufgabe 34: Ein Merkmal besitze eine Verteilung mit der Dichte ϑ · tϑ−1 für t ∈ (0, 1) fϑ (t) := 0 sonst mit dem unbekannten Parameter ϑ ≥ 1. ϑ soll aufgrund der unabhängigen Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) mit xi ∈ (0, 1), i = 1, . . . , n, geschätzt werden. a) Man bestimme einen Maximum-Likelihood-Schätzer x → ϑ̂(x) für ϑ. b) Ist der in a) gefundene Maximum-Likelihood-Schätzer erwartungstreu für ϑ? Hinweis: Ist Y ∼ Exp(ϑ), so hat e−Y die Dichte fϑ . c) Man bestimme den Momentenschätzer für ϑ. d) Es sei x = (0.25, 0.45, 0.55, 0.75, 0.85, 0.85, 0.95, 0.90) vorgegeben. Man bestimme mit der Maximum-Likelihood-Methode und mit der Momentenmethode jeweils einen Schätzwert für ϑ. Aufgabe 35 Ein Algorithmus (der zunächst Informationen mit Hilfe eines stochastischen Suchverfahrens beschafft und dann arithmetische Berechnungen durchführt) hat eine zufällige Laufzeit mit der Dichte −(t+ϑ) e , falls t + ϑ ≥ 0 t → fϑ (t) := 0 , falls t + ϑ < 0 mit unbekanntem ϑ ∈ Θ := (0, ∞) (das die Dauer der arithmetischen Berechnungen angibt). Aufgrund einer unabhängigen Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) mit xi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, soll ϑ geschätzt werden. a) Berechnen Sie die Likelihood-Funktion Lx . b) Skizzieren Sie ϑ → Lx (ϑ) für n = 2, x1 = −1 und x2 = 1. c) Bestimmen Sie einen Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ. Aufgabe 36 Ein Merkmal habe die Dichte t → fϑ (t) := 1 ϑ · (1 + t)−(1+1/ϑ) , 0 , falls t > 0 falls t ≤ 0, wobei ϑ ∈ Θ := (0, ∞) ein unbekannter Parameter ist. ϑ soll aufgrund einer unabhängigen Stichprobe x = (x1 , . . . , xn ) geschätzt werden, wobei x1 > 0, . . . , xn > 0 ist. a) Zeigen Sie, dass x → Tn (x) := n X log(1 + xi )/n i=1 ein Maximum-Likelihood-Schätzer für ϑ ist. b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von Tn (X) = Tn (X1 , . . . , Xn ). c) Ist Tn (X) ein erwartungstreuer Schätzer für ϑ ? d) Ist die Folge (Tn ) konsistent für ϑ? Hinweis: Nützen Sie aus, dass Yi := log(1 + Xi ) die Verteilung Exp(1/ϑ) besitzt (kein Beweis erforderlich). Hinweis: Die Anmeldung zur Scheinklausur am 05.03.2008 erfolgt ausschließlich online auf der Homepage der Vorlesung unter http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/stoch/lehre/stochinf2007w/event/wtschein/ Anmeldeschluß ist der 22.02.2008. Zur Klausur zugelassen sind Taschenrechner (auch programmierbar bzw. graphigfähig, aber ohne WLAN-Anbindung!), die Vorlesungsmitschrift und das Skriptum zur Vorlesung.
