11.¨Ubungsblatt zur Mathematischen Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. J. Beran
WS 2008/09
11. Übungsblatt zur Mathematischen Statistik
Abgabe: Montag, 25.01.2008 bis 12:00 Uhr (Briefkasten Nummer 19 oder Büro F406)
Aufgabe 1 (3 Punkte) Es seien X1 . . . , Xn unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen.
Bedingt auf θ ∼ Beta(α, β) sei Xi Bernoulliverteilt mit E(Xi ) = θ.
(a) Berechnen Sie E(X1 ) und E(X12 ) und geben Sie die Momentenschätzer für α und β an.
(b) Geben Sie den empirischen Bayesschätzer für θ (bezüglich der quadratischen Verlustfunktion) an.
Aufgabe 2 (4 Punkte) Seien X1 , . . . , Xn iid Zufallsvariablen mit der Dichte f (x) = 1θ exp(−x/θ)1[0,∞] .
Die a-priori Verteilung von θ−1 sei eine Gammaverteilung mit den Parameter λ und p (vgl. Blatt
7).
(a) Berechnen Sie den bedingten Erwartungswert E(θ|X) von θ unter X.
(a) Berechnen Sie E(X1 ) und E(X12 ) und geben Sie die Momentenschätzer für λ und p an.
(b) Geben Sie den empirischen Bayesschätzer für θ (bezüglich der quadratischen Verlustfunktion) an.
Aufgabe 3 (3 Punkte) Sei (Pθ )θ∈Θ ein Transformationsmodell, d.h. es gelte
hθ (ε) ∼ Pθ
für eine Gruppe von Transformationen (hθ )θ∈Θ und eine Zufallsvariable ε. Es sei T eine equivariante Statistik für g(θ) und L eine equivariante Verlustfunktion. Zeigen Sie, dass das Risiko
von T (mit L als Verlustfunktion) unabhängig von θ ist.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
(a) Es sei X = (X1 , . . . , Xn ) eine beliebige Stichprobe mit Ordnungsstatistiken X(1) , . . . , X(n) .
Welche der folgenden Statistiken sind equivariant bzgl. einer linearen Transformation
y = ax + b mit a, b ∈ R.
(i) T1 (X) = X(1) ,
(ii) T2 (X) = X(n) ,
(iii) T3 (X) = (X(1) + X(n) )/2.
(b) Es sei X = (X1 , . . . , Xn ) eine Stichprobe mit Werten auf dem Halbkreis S = {(x, y) ∈
R2 : x2 + y 2 = 1, y > 0}. Jeder Winkel θ ∈ [0, π) kann (eindeutig) dem Punkt sθ =
(Re(eiθ ), Im(eiθ )) ∈ S zugeordnet werden. Damit lassen sich die Statistiken T1 = sθ̄ und
T2 = s 1 (θ(1) +θ(n) ) definieren, wobei θ̄ das arithmetische Mittel und θ(1) bzw. θ(n) das
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Minimum bzw. Maximum der Winkel θ1 , . . . , θn von X bezeichnet.
Zeigen Sie, dass T1 und T2 equivariante Statistiken bzgl. Rotationen auf S um einen
Winkel 0 ≤ φ < π sind.