12.¨Ubungsblatt zur Statistik II - Ruhr

12. Übungsblatt zur Statistik II
Prof. Dr. Holger Dette, WiSe 2016/2017
Aufgabe 1.
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch P-verteilt. Weiterhin seien X1∗ , . . . , Xn∗ unabhängig identisch Pn -verteilt, wobei Pn die empirische Verteilung von X1 , . . . , Xn
bezeichnet. Sei nun F eine Donsker Klasse mit Einhüllender F . Zeigen Sie, dass
dann
h
i
P
∗
sup
E h(Ĝn )|X1 , . . . , Xn − Eh(GP ) −→ 0
h∈BL1 (`∞ (F ))
gilt. Dabei bezeichne G∗n =
eine Brown’sche Brücke.
√
n(P∗n − Pn ) den empirischen Bootstrap Prozess und GP
Aufgabe 2.
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilt mit Verteilung Pϑ . Sei ϑ̂n ein auf
X1 , . . . , Xn basierender Schätzer, sodass für jede konvergente Folge (hn )n und jedes ϑ
√
√
D
n(ϑ̂n − ϑ − hn / n) −→ Lϑ
unter Pϑ+hn /√n , für eine stetige Verteilung Lϑ . Zeigen Sie, dass dann
√
D
n(ϑ̂∗n − ϑ̂n ) −→ Lϑ
bedingt auf X1 , . . . , Xn in Wahrscheinlichkeit, wobei ϑ̂∗n derselbe Schätzer wie ϑ̂n ist,
basierend auf Beobachtungen der Verteilung Pϑ̂n .
Aufgabe 3.
a) Für β, L > 0 sei P(β, L) die Menge aller Wahrscheinlichkeitsdichten in der
Klasse
|p(bβc) (x) − p(bβc) (y)|
H(β, L) = p : R → R bβc-mal diff.bar mit sup
≤L .
|x − y|β−bβc
x,y∈R
Sei weiter K eine quadratisch integrierbare Funktion mit den Eigenschaften
Z
Z
Z
j
K(x) dx = 1, x K(x) dx = 0 für alle j = 1, . . . , bβc, |x|β |K(x)| dx < ∞.
Zeigen Sie, dass der Kerndichteschätzer p̂n mit Bandbreite hn = n−1/(2β+1) und
Kern K die Ungleichung
2β
sup sup E (p̂n (x) − p(x))2 ≤ c · n− 2β+1
x∈R p∈P(β,L)
für eine Konstante c = c(β, L, K) erfüllt.
b) Seien Xi = (Xi1 , . . . , Xid )T , i = 1, . . . , n, unabhängig identisch verteilte Rd wertige Zufallsvariablen mit zweimal stetig differenzierbarer Dichte p : Rd → R,
sodass alle zweiten partiellen Ableitungen gleichmäßig beschränkt sind. Sei
K : Rd → R eine Funktion mit den Eigenschaften
Z
Z
K(x) dx = 1,
xi K(x) dx = 0 für alle i = 1, . . . , d
und
Z
|xi xj | · |K(x)| dx < ∞ für alle i, j = 1, . . . , d.
Zeigen Sie, dass für den multivariaten Kerndichteschätzer mit Bandbreite h > 0
und Kern K
n
1 X
Xi1 − x1
Xid − xd
p̂n (x1 , . . . , xd ) =
K
,...,
nhd i=1
h
h
die Abschätzung
1
4
sup E(p̂n (x) − p(x)) ≤ c h + d
nh
x∈R
2
für eine Konstante c = c(p, K, d) > 0 gilt.
2
Aufgabe 4.
Seien (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) unabhängig identisch verteilt mit E|Y1 | < ∞. Für einen
Kern K und eine Bandbreite h > 0 ist durch
 Pn
X −x
Pn
 Pi=1 Yi K ( ih ) ,
Xi −x
6= 0
falls
K
X
−x
n
i=1
i
h
fˆn (x) =
i=1 K ( h )
0,
sonst
ein Schätzer für die Regressionsfunktion f (x) = E[Y1 |X1 = x] gegeben. Beweisen Sie
die Darstellung
R
y p̂n (x, y) dy
fˆn (x) =
p̂n (x)
falls p̂n (x) 6= 0 und
Z
Z
K(x) dx = 1 und
xK(x) dx = 0,
wobei
n
1 X
p̂n (x) =
K
nh i=1
Xi − x
h
n
1 X
Xi − x
Yi − x
und p̂n (x, y) =
K
K
.
nh2 i=1
h
h
Besprechung in der Übung am 06.02.2017
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