7.¨Ubungsblatt zur Statistik II - Ruhr

7. Übungsblatt zur Statistik II
Prof. Dr. Holger Dette, WiSe 2016/2017
Aufgabe 1.
Seien X1 , . . . , Xn ∼ P undabhängig identisch verteilt. Weiterhin sei dP
= f ∗ für ein
dµ
σ-endliches Maß µ und F eine konvexe Familie von Dichten bezüglich µ mit f ∗ ∈ F.
Zeigen Sie, dass der Hellinger Abstand H(fˆ, f ∗ ) für den ML-Schätzer
fˆ ∈ argmax
f ∈F
n
X
log f (Xi )
i=1
die Ungleichung
H(fˆ, f ∗ )2 ≤ 2 sup
f ∈F
Z s
2f
d(P̂n − P)
f + f∗
erfüllt.
Aufgabe 2.
Seien (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) unabhängig identisch verteilt mit Werten in [0, 1]2 und
stetiger Verteilungsfunktion F . Konstruiere unter Verwendung der empirischen Verteilungsfunktion
n
1X
F̂n (x, y) =
I{Xi ≤ x, Yi ≤ y}
n i=1
einen asymptotischen Test für die Unabhängigkeit von X1 und Y1 .
Hinweis: Der Test muss nicht verteilungsfrei sein. Betrachte die Funktionenklasse F2
aus Aufgabe 2 von Übungsblatt 6 und zeige die schwache Konvergenz des empirischen
Prozesses indiziert durch diese Funktionenklasse.
Aufgabe 3.
Sei F := {f : [0, 1] → [0, 1] : f ∈ C 1 ([0, 1]), kf 0 ksup ≤ 1}. Zeigen Sie, dass eine endliche
Konstante c > 0 existiert, sodass
c
log N[ ] (ε, F, k · ksup ) ≤
ε
für alle ε ∈ (0, 1].
Aufgabe 4.
i.i.d.
Seien X1 , . . . , Xn , X10 , . . . , Xn0 ∼ P. P̂n bezeichne die empirische Verteilung von X1 , . . . , Xn
und P̂0n die empirische Verteilung von X10 , . . . , Xn0 .
a) Für eine Funktionenklasse F und ein δ > 0 gelte
1
P |(P̂n − P)f | > δ/2 ≤
für alle f ∈ F.
2
Zeigen Sie, dass dann
0
P sup |(P̂n − P)f | > δ ≤ 2 P sup |(P̂n − P̂n )f | > δ/2
f ∈F
f ∈F
gilt.
b) Seien nun W1 , . . . , Wn unabhängig von (X1 , . . . , Xn , X10 , . . . , Xn0 ) mit
1
P(Wi = 1) = P(Wi = −1) = , i = 1, . . . , n.
2
Weiterhin gelte supf ∈F kf ksup ≤ R. Zeigen Sie, dass dann
!
n
1 X
Wi f (Xi ) > δ/4
P sup |(P̂n − P)f | > δ ≤ 4 P sup f ∈F
f ∈F n
i=1
für hinreichend großes n ≥ n0 (R, δ).
Besprechung in der Übung am 19.12.2016
2