Mathematische Statistik

SS 2006
Mathematische Statistik
H. Walk, A. Meister
Blatt 5
Aufgabe 16. Bei einem Quiz zu einem bestimmten Themengebiet müssen n Kandidaten unabhängig voneinander jeweils m Fragen im Multiple-Choice-Stil beantworten, wobei bei jeder
Frage k Antwortmöglichkeiten vorgegeben sind und jeweils genau eine Antwort richtig ist. Da es
für falsche Antworten keine Strafpunkte gibt, beantwortet jeder Kandidat zunächst alle Fragen,
deren richtige Antwort er kennt, und rät alle übrigen Antworten nach Belieben. Es wird also
keine Antwort freigelassen. Die Zufallsvariable Yj gebe die Anzahl der richtigen Antworten des
j-ten Kandidaten an; die unbeobachtete Zufallsvariable Xj gebe die Anzahl der Antworten an,
die der Kandidat gewusst hat. Ein Statistiker möchte aufgrund des Ergebnisses des Quiz den
Wissensstand über das Themengebiet in einer Gruppe, aus der die Kandidaten rein zufällig
ausgewählt worden sind, untersuchen und ist daher an der Verteilung QX der Xj interessiert.
a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Verteilung QX und der Verteilung QY der
Yj ?
Hinweis: Betrachten Sie zunächst die bedingte Wahrscheinlichkeit P [Yj = y|Xj = x] für
beliebige x, y ∈ {0, . . . , m}.
b) Konstruieren Sie mit Hilfe von a) einen erwartungstreuen Schätzer p̂ = (p̂0 , . . . , p̂m ) für
QX , d.h. E p̂l = pl := P [Xj = l] für alle l ∈ {0, . . . , m}. Zudem soll der Schätzer stark
konsistent sein, d.h. für n → ∞ gelte fast sicher p̂l → pl für alle l ∈ {0, . . . , m}.
Aufgabe 17.
a) Man beweise den folgenden Satz. Gegeben seien eine Familie {wϑ ; ϑ ∈ Θ} von W-Maßen
auf einem Stichprobenraum, Messräume (V, W) sowie Statistiken T : (R, S) → (V, V) und
T : (R, S) → (V , V). Es existiere eine bijektive Abbildung e von V auf V mit T = e ◦ T ,
die eine bijektive Abbildung von V auf V vermittelt. Ist T suffizient für ϑ ∈ Θ, so gilt
dies auch für T .
b) Es sei {wϑ ; ϑ ∈ Θ} eine Klasse von Verteilungen auf (R, B), die zum Nullpunkt symmetrisch sind. Hierzu ist eine nichttriviale suffiziente Statistik anzugeben.
Aufgabe 18.
Die n unabhängigen reellen Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien auf [0, ϑ] gleichverteilt (Parameter
ϑ > 0). Ist die Statistik T : (Rn , Bn ) → (R, B) mit
T (x1 , . . . , xn ) = max xi
i=1,...,n
suffizient für den Parameter ϑ?
Aufgabe 19. Xij seien stochastisch unabhängige N (ai , σ 2 )-verteilte Zufallsvariablen,
j = 1, . . . , ni , i = 1, . . . , k. Man ermittle eine (k + 1)-dimensionale suffiziente Statistik für
(a1 , . . . , ak , σ 2 ) ∈ Rk × (0, ∞).