3. ¨Ubungsblatt ,,Einführung in die Statistik”

Institut für Angewandte Mathematik
Sommersemester 2015
Dr. M. Huesmann
P. Nejjar
3. Übungsblatt ,,Einführung in die Statistik”
Abgabe: 4.5.2015 in der Vorlesungspause
1. (Konsistenz)
[5 Pkt ]
Seien (Xi , i ∈ N) Nµ,σ2 -verteilt mit Kovarianz Cov(Xi , Xj ) = ρj−i für i < j. Wir schätzen
P
µ mit µ̂N = N1 N
i=1 Xi . Zeigen Sie:
a) (µ̂N )N ist keine konsistente Folge von Schätzern für µ, falls ρj−i = ρ 6= 0 für alle
i < j.
b) (µ̂N )N ist eine Folge von konsistenten Schätzern für µ, falls ρj−i ≤ M γ j−i mit γ < 1.
2. (Suffizienz)
[4 Pkt ]
a) Seien X1 , . . . , XN unabhängig identisch verteilt mit Zähldichte
fθ (x) =
θx
,
x(− log(1 − θ))
x∈N
für 0 < θ < 1. Man bestimme eine suffiziente Statistik für p.
b) Seien X1 , . . . , XN unabhängig identisch verteilt mit Dichte
fθ (x) = c(θ)h(x)1(0,θ) (x)
für einen unbekannten Parameter θ > 0 und geeignete Funktionen c : Θ → R und
h : R → R. Zeigen Sie, dass maxi=1,...,N Xi eine suffiziente Statistik für θ ist.
3. (Bayes-Schätzer bei Bernoulli Verteilung)
[6 Pkt ]
Es sei X = (X1 , . . . , Xn ), wobei X1 , . . . , Xn unabhängige Bernoulli verteilte ZufallsvariaP
blen mit Qϑ (Xi = 1) = 1 − Qϑ (Xi = 0) = ϑ. In der Vorlesung wurde mit X̄n = ni=1 Xi /n
TnB (X) = γn X̄n + (1 − γn )
a
,
a+b
mit γn =
n
a+b+n
als Bayes-Schätzer für ϑ bezüglich der quadratischen Verlustfunktion und der Beta(a, b)Verteilung als a-priori Verteilung hergeleitet.
a) Ist (TnB (X))n∈N eine konsistente Folge von Schätzern ?
b) Zeigen Sie, dass für a = b =
1√
n
2
der Bayes-Schätzer auch Minimax-Schätzer ist.
4. (Rao-Blackwell Prozedur)
Seien X1 , . . . , XN unabhängig identisch Poisson-verteilt mit Parameter λ > 0.
[5 Pkt ]
a) Zeigen Sie, dass X1 · X2 ein erwartungstreuer Schätzer für λ2 ist.
P
b) Zeigen Sie, dass S(X) = N
i=1 Xi eine suffiziente Statistik ist.
c) Verbessern Sie den Schätzer aus a) mittels der Rao-Blackwell Prozedur mit der Statistik S(X).