Mathematische Statistik - Fachbereich Mathematik und Statistik

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik
Prof. Dr. Jan Beran
Wintersemester 2011/12
Mathematische Statistik
13. Übungsblatt
test test
Aufgabe 13.1 Sei X1 , . . . , Xθ eine Stichprobe aus einer Exponentialverteilung, XiP
∼ Exp(λ),
mit bekanntem λ = 1 und unbekanntem θ ∈ N>0 . Wir beobachten die Statistik T = θk=1 Xk .
θ habe eine um eins verschobene“ geometrische Verteilung, P (θ = n) = p(1 − p)n−1 , n ≥ 1, mit
”
einem bekannten p ∈ (0, 1).
Wir betrachten, leicht abweichend von den bisherigen Bayes-Schätzern, die Verlustfunktion
L(θ, a) = 1θ (a − θ)2 .
1. Sei T = t > 0 eine Beobachtung und z = (1 − p)t. Zeigen Sie:
Eθ [L(θ, a)|T = t] = 1 + z − 2a + (1 − e−z )
a2
.
z
Hinweis: Welche Verteilung hat X1 +. . .+Xn falls Xi ∼ Exp(1) ? (Literatur oder Momenterzeugende Funktionen)
2. Bestimmen Sie den Schätzer a = θ̂ = θ̂(t), der Eθ [L(θ, a)|T = t] für gegebenes t minimiert.
Aufgabe 13.2 Seien X1 , . . . , Xn iid mit Xi ∼ N (0, σ 2 ), σ > 0.
P
1. Zeigen Sie, dass V (X) := ni=1 Xi2 eine vollständige, suffiziente Statistik für σ 2 ist.
X2
i
Zeigen Sie, dass die Verteilung von Ui (X) = V (X)
nicht von σ 2 abhängt, i = 1, . . . , n.
Zeigen Sie, dass V und Ui für jedes σ 2 unabhängig sind .
Aufgabe 13.3
Sei Y1 , Y2 , . . . eine iid-Folge Poisson-verteilter Zufallsvariablen, Yi ∼ P o(θ). Wir
0 falls Yi = 0
setzen Xi :=
1 falls Yi > 0.
Die Beobachtung ist X = [X1 , . . . , Xn ]0 mit Realisierungen x = [x1 , . . . , xn ]0 , und wir möchten θ
schätzen.
1. Zeigen Sie: Zu festem n gibt es eine positive Wahrscheinlickeit, dass θ̂ = − ln(1 − x) der
Maximum-Likelihood-Schätzer für θ auf Grundlage von x ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen M LE gibt. Zeigen Sie: Für jedes n und jedes ε > 0 gibt es
ein θ0 , sodass der MLE mit einer Wahrscheinlichkeit ≥ 1 − ε nicht existiert falls θ ≥ θ0 .
2. Zeigen Sie: Für festes θ konvergiert die Wahrscheinlichkeit, dass der MLE existiert, gegen
1 für n → ∞.
Zeigen Sie: Falls θ̂ ab einem gewissen Index n0 existiert, so gilt
√
d
n(θ̂ − θ) → N (0, eθ − 1), n → ∞.
Pp
Aufgabe 13.4 Sei Yi =
j=1 xij βj + εi für i = 1, . . . , n. Die εi seien hierbei iid mit
2
εi ∼ N (0, σ ). Die Zahlen xij seien bekannt, der Vektor β := [β1 , . . . , βp ]0 ∈ Rp und σ ∈ (0, ∞)
0
seien unbekannte Parameter
der Verteilung
 von [Y1 , . . . , Yn ] .

x11 · · · x1p
 ..
..  seien linear unabhängig und n ≥ p.
Die Spalten von X :=  .
. 
xn1 · · · xnp
Bestimmen Sie den MLE von (β, σ) auf Grundlage einer Beobachtung y = [y1 , . . . , yn ]0 .
Hinweis: Aufgabe 1.1.
Abgabe: Dienstag, 31.1.2012, 12.30 h, Briefkasten Nr. 18