11. ¨Ubung Einführung in die Stochastik

Universität zu Köln
WS 2015/16
Institut für Mathematik
Dozent: Prof. Dr. A. Drewitz
Assistent: L. Schmitz
Abgabe: 28.1. & 29.1. vor den Übungen
11. Übung Einführung in die Stochastik
(Parameterräume, erwartungstreue Schätzer, Statistiken)
Hausaufgaben
1. Aufgabe
(6 Punkte)
a) Sei X binomialverteilt mit Parametern n und p, wobei n ∈ N fest und
p ∈ Θ = (0, 1) noch frei wählbar sei. Für B ∈ 2N0 sei Pp (X ∈ B) die
Wahrscheinlichkeit von {X ∈ B}, falls X binomialverteilt mit Parametern n und p ist.
Zeigen Sie: Für r, n ∈ N und p ∈ [0, 1] gilt
Z p
n X
n k
n
n−k
y r−1 (1 − y)n−r dy
p (1 − p)
=r
k
r
0
k=r
und bestimmen Sie eine Menge B ∈ 2N0 , für die gilt:
sup Pp (X ∈ B) = inf Pp (X ∈ B) ,
p>p0
p≤p0
wobei p0 ∈ Θ fest sei.
(3 Punkte)
b) Seien X1 , . . . , Xn unabhängige N (µ, σ02 )-verteilte Zufallsvariablen, wobei
σ0 > 0 fest und µ ∈ Θ = R noch frei wählbar sei. Für µ0 ∈ Θ fest
definieren wir
Y :=
√ Snn − µ0
n
σ0
mit
Sn =
n
X
Xi .
i=1
Für x ∈ R sei Pµ (Y > x) die Wahrscheinlichkeit von {Y > x}, falls die
Xi normalverteilt mit Mittelwert µ und Varianz σ02 > 0 sind. Zeigen Sie,
dass für δ > 0 gilt:
i) Pµ0 (|Y | > δ) = inf µ6=µ0 Pµ (|Y | > δ);
ii) supµ≤µ0 Pµ (Y > δ) = Pµ0 (Y > δ) = inf µ>µ0 Pµ (Y > δ),
(3 Punkte)
2. Aufgabe
(4 Punkte)
Sei τ : Θ → Σ eine Schätzfunktion. Ein Schätzer T : (X , A) → (Σ, S) wird
erwartungstreu genannt, falls Eϑ [T (X)] = τ (ϑ) für alle ϑ ∈ Θ.
Seien nun X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit E [X1 ] = a und
Var(X1 ) = σ 2 > 0, (a, σ 2 ) ∈ R × (0, ∞) = Θ. Welche Bedingungen
müssen
Pn
die Koeffzienten c1 , . . . , cn erfüllen, damit T (X1 , . . . , Xn ) := i=1 ci Xi ein
erwartungstreuer Schätzer für a ist? Wann ist in diesem Fall die Varianz für T
minimal?
3. Aufgabe
(0 Punkte)
Sei (Ni )i∈Z eine unabhängige Folge N (0, 1)-verteilter Zufallsvariablen und seien
die Zufallsvariablen Tn und Fm,n gegeben durch
Pm
1
N2
N0
m
,
und
Fm,n = 1 Pni=1 2i ,
∀m, n = 1, 2, . . . .
Tn = q P
n
1
2
i=1 N−i
n
N
i=1 i
n
Pm
2
Weiter sei Xm =
i=1 Yi , wobei die Yi unabhängig und identisch N (0, 1)verteilt sind. Sei Z eine weitere N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable. Zeigen Sie
D
a) Tn −→ Z für n → ∞;
b) für alle x ∈ R, m = 1, 2, . . . gilt P (Fm,n ≤ x) −→ P (Xm ≤ mx) für
n → ∞.
Bemerkung: Die Statistik Tn wird auch als Student-t-verteilte Zufallsvariable mit n Freiheitsgraden bezeichnet. Fm,n nennt man auch Fisher -verteilt mit
(m, n) Freiheitsgraden. Xm ist eine χ2 -verteilte Zufallsvariable mit m Freiheitsgraden. Alle auftretenden Verteilungen spielen zentrale Rollen in statistischen
Anwendungen.
Anmerkung: Es sind nur die Aufgaben einzureichen, welche strikt positive
Punktzahlen haben. Sollten Sie für eine Aufgabe mehrere Blätter benötigen, so
sind diese zusammenzuheften. Bitte beschriften Sie Ihre Lösungen in der ersten
Zeile in der folgenden Reihenfolge: Gruppe, Name, Aufgabe. Gesamtpunktzahl:
10
2