1. Klausur zur Wahrscheinlichkeitsrechnung

Institut für Informatik II
Römerstraße 164
D–53117 Bonn
6. Juli 2000
der Universität Bonn
Ch. Strelen / W. Sandmann
1. Klausur zur Wahrscheinlichkeitsrechnung
Name:
Vorname:
Matrikelnummer:
Geburtsdatum:
1
6
2
6
3
11
4
3
5
18
6
12
7
16
P
72
Schreiben Sie auf jedes Blatt als erstes Ihren Namen, auch auf die mitgebrachten Notizen. Jedes von
Ihnen beschriebene Blatt Papier außer den mitgebrachten Notizen muß abgegeben werden, eingelegt in
diesen Doppelbogen (einmal gefaltet). Dies gilt auch, wenn Sie die Klausur vorzeitig beenden. Legen Sie
während der Klausur Ihren Personalausweis/Reisepass und Ihren Studentenausweis deutlich sichtbar
auf Ihr Pult.
Zur Klausur dürfen Sie als einzige Hilfsmittel ein DIN A4–Blatt (also zwei Seiten) mit von Ihnen selbst
handgeschriebenen Notizen und einen Taschenrechner verwenden. Andere Unterlagen dürfen sich nicht
bei den Arbeitsplätzen befinden. Die Klausur ist in jedem Fall bestanden, wenn Sie mindestens 40
Punkte (von insgesamt 72 möglichen) erreicht haben.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
Aufgabe 1
(6 Punkte)
Wieviele verschiedene natürliche Zahlen mit höchstens drei Primfaktoren, wobei jeder Primfaktor kleiner als zwanzig sein soll, gibt es (mit Begründung)?
Aufgabe 2
(6 Punkte)
Gegeben seien zwei Urnen, U1 mit einer schwarzen, drei blauen und sechs weißen Kugeln, U2
mit acht schwarzen, einer blauen und einer weißen Kugel. Es wird nun zufällig eine der beiden
Urnen ausgewählt. Danach wird aus dieser Urne eine Kugel gezogen. Sie ist schwarz. Berechnen
Sie die Wahrscheinlichkeit, daß Urne U1 ausgewählt wurde.
Aufgabe 3
(6+5 Punkte)
Eine faire Münze werde geworfen. Falls Zahl“ fällt, so wird sie ein zweites Mal geworfen,
”
sonst nicht. Die Zufallsvariable A bezeichne die Anzahl, wie oft Zahl“ gefallen ist, und die
”
Zufallsvariable W bezeichne die Anzahl der Würfe. Berechnen Sie
a) für A und W jeweils den Erwartungswert, die Varianz und den Variationskoeffizienten.
b) die gemeinsame Verteilung von (A, W ), die Kovarianz von A und W sowie den Korrelationskoeffizienten ρ(A, W ).
Aufgabe 4
(3 Punkte)
Ein fairer Würfel werde zweimal geworfen, X1 bzw. X2 sei die Augenzahl im ersten bzw. zweiten
Wurf. Geben Sie die Verteilung des Maximums der Augenzahlen (d.h. alle Wahrscheinlichkeiten
P {max(X1 , X2 ) = i}) an.
Aufgabe 5
(8+8+2 Punkte)
Die Zufallsvariablen X und Y seien gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1].
a) Sei Q = X 2 . Geben Sie für X und Q die Verteilungsfunktionen FX (x), FQ (q) und die
Dichten fX (x), fQ (q) an, und berechnen Sie den Erwartungswert E[Q].
b) Seien X, Y unabhängig, und sei Z = X + Y. Berechnen Sie durch Faltung die Dichte
fZ (z).
Hinweis: Achten Sie auf Bereiche, in denen die Dichten den Wert 0 haben.
c) Geben Sie die Laplace–Stieltjes–Transformierte E[e−ϑZ ] von Z an.
Aufgabe 6
(12 Punkte)
Bei einem Glücksspiel wird mit der (unbekannten) Wahrscheinlichkeit p gewonnen, sonst verloren. Bei n Spielen werden i Gewinne und n − i Verluste beobachtet. Berechnen Sie einen
Maximum–Likelihood–Schätzer für p. Ist dieser Schätzer erwartungstreu (mit Begründung)?
Aufgabe 7
(2+6+2+6 Punkte)
a) Wozu dient ein χ2 –Unabhängigkeitstest?
b) Wie lautet dabei die Testgröße Q((X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn )), und wie ist sie verteilt?
c) Für welche Werte der Testgröße wird die Unabhängigkeitshypothese bei einem Signifikanzniveau von 10% abgelehnt?
d) Bei einer Untersuchung des Schädlingsbefalls von Apfelbäumen drei verschiedener Sorten
wurden insgesamt n = 100 Bäume untersucht. Dabei erhielt man diese Kontingenztafel:
Apfelsorte
A
B
C
Schädlingsbefall
gering mittel stark
22
6
2
11
12
7
17
12
11
Ergänzen Sie die Tafel um die für die Durchführung des Tests nützlichen Elemente. Welchen Wert hat die Testgröße? Ist H0 bei einem Signifikanzniveau von 10% zu verwerfen
(mit Begründung)?