Semesterendprüfung

MAE4 – Mathematik: Analysis für Ingenieure 4
Dr. Christoph Kirsch
Frühlingssemester 2016
ZHAW Winterthur
Semesterendprüfung
Aufgabe 1 (5 Punkte):
Von zwei Würfeln sei einer fair, und der andere sei derart manipuliert, dass die 6 bei
ihm mit der Wahrscheinlichkeit 1/5 erscheint. Alle anderen Augenzahlen des manipulierten Würfels haben dieselbe Wahrscheinlichkeit.
Die beiden Würfel werden gleichzeitig geworfen, und wir betrachten die Ereignisse
A := “Die Augensumme beträgt 8” und
B := “Genau einer der Würfel zeigt eine 6”.
a) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (A), P (B) und P (A ∩ B).
b) (1 Punkt) Sind die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig (mit Begründung)?
c) (2 Punkte) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der manipulierte
Würfel eine 6 zeigt unter der Bedingung, dass A ∩ B eingetreten ist?
Hinweis: Betrachten Sie geordnete Paare von Augenzahlen (i, j), i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6},
wobei an der ersten Stelle die Augenzahl des fairen und an der zweiten Stelle die
Augenzahl des manipulierten Würfels stehen soll.
Aufgabe 2 (5 Punkte):
Aus einer Urne mit 6 roten und 14 blauen Kugeln werden mit Zurücklegen 10 Kugeln
gezogen. Wir interessieren uns für die Anzahl der gezogenen roten Kugeln.
a) (1 Punkt) Definieren Sie eine geeignete Zufallsvariable X, und geben Sie ihre
Verteilung an.
b) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (X < 5 ∨ X ≥ 8)” (∨:
logisches ODER).
c) (2 Punkte) Geben Sie das erste Quartil der Verteilung von X an.
Bitte wenden!
• Datum, Zeit, Ort: Montag, 20. Juni 2016, 16:00 – 17:30 Uhr, TH 363
• Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner und (ergänzte) Formelsammlung, sowie eine Zusammenfassung der Vorlesung auf 10 A4-Blättern (doppelseitig beschrieben).
• Bitte schreiben Sie immer Ihren vollständigen Lösungsweg auf. Geben Sie auch an,
wenn Sie für einen Zwischenschritt den Taschenrechner verwendet haben.
• Bitte schreiben Sie Ihren Namen oben rechts auf jede Seite, die Sie abgeben.
Geben Sie auch dieses Aufgabenblatt ab.
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Aufgabe 3 (5 Punkte):
Es sei X ∼ Exp(0.3).
a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die (kumulative) Verteilungsfunktion FX .
b) (1 Punkt) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (X > 2)”.
c) (1 Punkt) Wir definieren die stetige reelle Zufallsvariable Y := 3X − 2. Bestimmen Sie die (kumulative) Verteilungsfunktion FY .
d) (1 Punkt) Ist Y exponentialverteilt (mit Begründung)?
Aufgabe 4 (5 Punkte):
Von einer zweidimensionalen diskreten reellen Zufallsvariable X = (X1 , X2 )> sei die
folgende unvollständige Wertetabelle bekannt:
x2
fX
0
1
fX1
x1
0
1
0.22
0.16 0.10
2
fX2
0.54
0.40
a) (1 Punkt) Vervollständigen Sie die Tabelle. Sie können die Werte direkt in dieses
Aufgabenblatt eintragen.
b) (1 Punkt) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (X1 < 2 ∧ X2 > 0)” (∧:
logisches UND).
c) (2 Punkte) Berechnen Sie Cov(X1 , X2 ).
d) (1 Punkt) Berechnen Sie den Erwartungswert E[X1 X2 ].
Aufgabe 5 (5 Punkte):
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer zweidimensionalen stetigen reellen Zufallsvariable X = (X1 , X2 )> sei gegeben durch
4x1 e−2x1 −x2 , x1 , x2 ≥ 0
fX (x1 , x2 ) =
, x1 , x2 ∈ R.
0,
sonst
a) (2 Punkte) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit “P (X1 ∈ (−2, 3] ∧ X2 > 1)”.
b) (2 Punkte) Berechnen Sie die Randdichten fX1 , fX2 .
c) (1 Punkt) Sind die Zufallsvariablen X1 und X2 stochastisch unabhängig (mit
Begründung)?
2
Aufgabe 6 (5 Punkte):
Gegeben seien die folgenden Daten:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
i
xi 0.14 −3.1 −3.9 −2.2 −1.5 1.7 −3.0 1.1 −1.5 −2.2 −1.7
Wir nehmen an, die zugrunde liegenden Stichprobenvariablen seien normalverteilt,
Xi ∼ N (µ, σ 2 ) iid, wobei die wahren Werte der Parameter µ, σ 2 unbekannt sind.
a) (1 Punkt) Geben Sie (Punkt-)Schätzungen für die wahren Werte von µ und σ 2
an.
b) (2 Punkte) Geben Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den wahren Wert des Parameters µ an, und berechnen Sie das entsprechende Schätzintervall aus den
gegebenen Daten.
c) (2 Punkte) Geben Sie ein 95 %-Konfidenzintervall für den wahren Wert des Parameters σ an, und berechnen Sie das entsprechende Schätzintervall aus den
gegebenen Daten.
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