Ubungsblatt 07 03.06.2014 - RWTH

Aufgaben zur Veranstaltung
Tutorium Stochastik, SS 2014
Yvonne Nix, M.Sc., Rebecca Sarholz, B.Sc.
FH Aachen, Campus Jülich; IT Center, RWTH Aachen
Übungsblatt 07
03.06.2014
III.12 Grundbegriffe, III.13 Punktschätzungen
1.) Die von einer Maschine für einen bestimmten Arbeitsvorgang benötigte Zeit sei eine
Zufallsvariable X, für deren Dichtefunktion in Abhängigkeit von einem ϑ ∈ [0; 2] die
Gestalt
(
ϑ + 2 · (1 − ϑ) · x für x ∈ [0, 1]
f (x; ϑ) =
0
sonst
unterstellt wird. Zu X liege eine einfache Stichprobe X1 , ... , Xn (die Xi sind unabhängig) vor.
(a) Zeigen Sie, dass die Schätzfunktionen
n
P
Xi und
i. Θ̂1 = 4 − n6
ii. Θ̂2 = 3 −
6
n
i=1
n
P
Xi2
i=1
erwartungstreu für ϑ sind.
(b) Überprüfen Sie zusätzlich, ob Θ̂1 konsistent für ϑ ist.
2.) Zu gegebenem n ∈ N seien X1 , · · · , Xn stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, die
jweils auf dem Intervall [0; b] gleichverteilt seien. Hierbei sei die obere Intervallgrenze
b > 0 unbekannt. zur Schätzung von b betrachtet man folgende Schätzfunktion
n
X
bbn = 2X n = 2
Xi .
n i=1
(a) Ist bbn ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter b?
(b) Berechnen Sie die Varianz von bbn in Abhängigkeit von n, und entscheiden Sie (mit
Begründung), ob die Schätzer-Folge ((bbn )n∈N ) konsistent ist.
3.) An einem Bankschalter werden an n verschiedenen Freitagen die Wartezeiten Xi in
Minuten beobachtet. Unter der Annahme, dass die Xi exponential-verteilt sind mit der
Dichtefunktion
(
x
1
· e− m x ≥ 0
m
fm (x) =
,
0
x<0
schätzen Sie den Wert m mit der Maximum-Likelihood-Schätzmethode.
1
4.) Die Zufallsvariable X = Lebensdauer eines bestimmten Maschinentyps sei durch folgende Dichtefunktion beschreibbar:
(
λ2 · x · e−λx falls x ≥ 0
f (x) =
0
sonst
Bestimmen Sie die Maximum-Likelihood-Schätzung für λ.
5.) Die diskrete Zufallsgröße X kann die Werte 1, 2, 3 und 4 annehmen, und zwar mit den
Wahrscheinlichkeiten
P (X = 1) = p2 ;
P (X = 2) = p;
P (X = 3) = 1 − 2p;
P (X = 4) = p(1 − p)
In einer Serie von 10 unabhängigen Versuchen mit dem zufälligen Ausgang X ergaben
sich die folgenden Beobachtungen:
1 2 2 2 1 2 3 2 1 2
Berechnen Sie für diese Beobachtungen den Maximum-Likelihood-Schätzwert für p.
6.) Peter nimmt an zehn aufeinanderfolgenden Tagen an einem Glückspiel mit einer Gewinnwahrscheinlichkeit p ∈ (0; 1) teil. Dabei spielt er das Spiel jeden Tag so oft, bis er
einmal gewinnt. Danach hört er für diesen Tag auf. Nach dieser Strategie verfährt er an
jedem der zehn Tage. Nachfolgend sind die Anzahlen der Spiele angegeben, die Peter
an den einzelnen Tagen spielt:
13, 7, 10, 2, 11, 17, 15, 9, 19, 11.
(a) Bestimmen Sie aufgrund einer Stichprobe vom Umfang n eine Maximum-LikelihoodSchätzung für die (unbekannte) Wahrscheinlichkeit p.
(b) Berechnen Sie den zugehörigen Maximum-Likelihood-Schätzwert, der sich für die
oben angegebenen Anzahlen ergibt.
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