Kombinatorik Stichproben Binomialformel

Kombinatorik
5. Zufallsvariable
1. Fakultät
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 1;
dabei gilt: 0! = 1
Ẏ : Sn −→ Ỹ
2. Binomialkoeffizient
N
N!
=
;
n
n!(N − n)!
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, deren Definitionsbereich der Kennzeichungsraum eines Zufallsgenerators ist. In unserem Fall von Stichprobengeneratoren Gn verwenden wir also deren Kennzeichnungsmenge Sn :
N
dabei gilt:
=1
0
Ein einfaches Beispiel für eine Zufallsvariable ist die Inklusionsvariable (s. o.).
6. Schätzfunktion
Eine Schätzfunktion hat allgemein die Form
(Anzahl der Teilmengen des Umfangs n, die aus einer Gesamtheit vom Umfang N gezogen werden können.)
U̇ [X] : Sn −→ R mit U̇ [X](S) :=
X
gω (X(ω)) I˙ω (S)
ω∈Ω
Stichproben
1. Menge der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Gesamtheit Ω
Sn := {S ⊆ Ω | |S| = n}
Mit Schätzfunktionen sollen Eigenschaften der Verteilung P[X] einer statistischen Variablen X : Ω −→ X̃ geschätzt werden.
7. Mittel- bzw. Erwartungswert von Zufallsvariablen
2. Wahrscheinlichkeitsverteilung für einen Zufallsgenerator Gn
M[Gn ](Ẏ ) :=
Pr[Gn ] : P(Sn ) −→ [0, 1]
X
Ẏ (S)Pr[Gn ]({S})
S∈Sn
Geforderte Eigenschaften:
a) ∀S ⊆ Sn : 0 ≤ Pr[Gn ](S) ≤ 1
b) Pr[Gn ](∅) = 0 und Pr[Gn ](Sn ) = 1
c) ∀S, S 0 ⊆ Sn :
S ∩ S 0 = ∅ =⇒ Pr[Gn ](S ∪ S 0 ) = Pr[Gn ](S) + Pr[Gn ](S 0 )
3. Inklusionsvariable
I˙ω : Sn −→ {0, 1}
I˙ω (S) :=
1, falls ω ∈ S
0, sonst
π(ω) : Ω −→ [0, 1]
X
S3ω
Pr[Gn ]({S}) =
Binomialformel
(a + b)
4. Inklusionswahrscheinlichkeiten für Mitglieder ω einer Gesamtheit Ω
π(ω) :=
Insbesondere:
M[Gn ](I˙ω ) = π(ω)
X
S∈Sn
I˙ω (S)Pr[Gn ]({S})
n
=
n n
n n−1
n n−2 2
b+
b +···
a +
a
a
0
1
2
n
n n
n
2 n−2
n−1
ab
b
+
+
a b
+
n−1
n
n−2
Besonders einfache Ausdrücke ergeben sich für a, b ∈ {−1, 0, 1}.