WiSe 2012/2013 und SoSe 2013

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
WiSe 2012/2013 und SoSe 2013
Wiederholung/Aufgabe 4 (Satz von de Moivre-Laplace, Normalverteilung, Binomialverteilung, Tschebyscheff-Ungleichung)
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis in einem Experiment eintritt, sei
1
. Ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in 900 unabhängigen Ver2
suchen zwischen 405 und 495 Malen eintritt, größer als 0.88? Benutzen Sie
für die Antwort
(a) die Tschebyscheff-Ungleichung.
(b) den Satz von Moivre-Laplace (Approximation der Binomialverteilung
durch die Normalverteilung) (ohne Stetigkeitskorrektur).
Lösungsskizze
Zu (a): Sei X die Zufallsvariable, die die Anzahl der eingetretenen Ereignisse
bei dem betrachteten n-stelligen Experiment zählt. X sei nach Voraussetzung
B(900; 12 )-verteilt (binomialverteilt). Gesucht ist nun P (405 ≤ X ≤ 495).
Nach der Tschebyscheff-Ungleichung gilt
Var(X)
P (|X − E(X)| ≥ ε) ≤
.
ε2
Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X ist E(X) = np und Var(X) =
np(1−p), wobei n die Anzahl der durchgeführten Versuche bezeichnet. In unserem Fall ist damit E(X) = 450 und Var(X) = 225. Aus der TschebyscheffUngleichung folgt
225
P (|X − E(X)| ≥ 45) ≤ 2 .
45
Insgesamt bekommen wir
P (|X − 450| ≤ 45) = 1 − P (|X − 450| > 45) ≥ 1 − P (|X − 450| ≥ 45)
225
1
8
> 1 − 2 = 1 − = = 0.8 > 0.88 .
45
9
9
Zu (b) Sei X eine B(n; p)-verteilte Zufallsvariable. Dann gilt nach dem Satz
von de Moivre-Laplace
(
)
X − np
lim P a ≤ √
≤ b = Φ(b) − Φ(a),
n→∞
np(1 − p)
wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung ist. Also
folgt
X − 450
≤ 3)
15
≈ Φ(3) − Φ(−3) = 2Φ(3) − 1
≈ 0.9974 > 0.88 .
P (405 ≤ X ≤ 495) = P (−3 ≤
2