¨Ubungen zur Analysis, SS 2013

Übungen zur Analysis, SS 2013
Beispielsammlung
(Letztes Update: March 5, 2013)
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Anwendungen aus der Statistik
1.1 Beweisen Sie den folgenden Satz, der auch unter dem Namen “Gesetz der kleinen Zahlen”
bekannt ist.
(4P)
Satz 1.1. Für ein vorgegebenes λ > 0 und n ∈ N sei Xn ∼ Binom(n, pn ) eine binomialverteilte Zufallsvariable mit parametern n und pn := λ/n. Weiters sei Y ∼ Poisson(λ)
poissonverteilt mit Parameter λ. Zeigen Sie, dass für jedes k ∈ N ∪ {0} gilt
−−−−→
P(Xn = k)
n→∞
P(Y = k),
Hinweis: Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer binomialverteilten Zufallsvariable X mit Parametern n und p ist gegeben durch
!
n k
P(X = k) =
p (1 − p)n−k
für k = 0, 1, . . . , n.
k
Für Y ∼ Poisson(λ) gilt P(Y = k) =
λk −λ
e ,
k!
für k ∈ N ∪ {0}. Verwende lim 1 +
n→∞
x n
n
= ex .
1.2 Finden Sie, wenn möglich, die Konstante c > 0, so dass die Funktion p : Ω → [0, 1] eine
Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω ist.
(a) p(k) = c ·
(b) p(k) = c ·
λk
k! ,
1
k
k
(c) p(k) = c · q ,
(d) p(k) = c ·
λ>0
Ω = N ∪ {0}
(1P)
Ω=N
0<q<1
1
k(k+1)
(1P)
Ω = N ∪ {0}
Ω=N
(1P)
(3P)
1.3 Es sei X eine reellwertige Zufallsvariable mit E[X] = µ ∈ R und E[X 2 ] < ∞. Finden Sie den
eindeutigen Minimierer der Funktion y 7→ E[(X − y)2 ] auf R.
1.4 Es sei F : R → [0, 1] die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable X, d.h. F (t) := P(X ≤ t),
t ∈ R. Insbesondere gilt also limM →∞ F (M ) = 1, limM →−∞ F (M ) = 0 und, dass F monoton
wachsend ist. Nehmen Sie zusätzlich an, dass F auf ganz R stetig differenzierbar ist. Zeigen
Sie, dass dann die Dichte f (t) := F 0 (t) von X die folgenden Eigenschaften hat.
(a) f (t) ≥ 0, für alle t ∈ R
(b)
(c)
Rb
f (t) dt = P(a < X ≤ b), für alle reellen Zahlen a < b
a
R∞
f (t) dt = 1
−∞
1.5 Die Dichte der standard Cauchy-Verteilung ist gegeben durch
f (x) =
1
.
π(1 + x2 )
(a) Bestimmen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion.
1
(b) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Cauchy-Verteilung, also
R∞
xf (x) dx, nicht
−∞
wohl definiert ist, indem Sie zeigen, dass lima→∞
Ra
−a
xf (x) dx und lima→∞
R2a
xf (x) dx
−a
nicht übereinstimmen.
Hinweis: Für das erste Integral in (b) verwenden Sie die Symmetrie des Integranden. Das zweite
Integral berechne man mit Hilfe der Substitutionsregel.
1.6 Gegeben sind die bivariaten Beobachtungen (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ) ∈ R2 . Finden Sie die lineare
Funktion f (x) = a0 + b0 · x P
(finden Sie also die reellen Koeffizienten a0 und b0 ), die das
n
Kleinste-Quadrate Kriterium i=1 (yi − f (xi ))2 minimiert. Was passiert wenn alle xi gleich
sind?
(4P)
2