Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
1 Mengenlehre
1
2 Termumformungen
5
3 Gleichungen (1. Grades)
7
4 Potenzen
9
5 Lineare Gleichungssysteme
15
6 Funktionen (1. Grades)
17
7 Kombinatorik
21
8 Quadratische Gleichungen
25
9 Logarithmen
27
10 Quadratische Funktionen
29
11 Exponential- und Logarithmusfunktionen
31
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
33
13 Statistik
41
i
Inhaltsverzeichnis
ii
1 Mengenlehre
∈
x∈A
x ist Element von der Menge A, x gehört zur Menge A.
6∈
x 6∈ A
x ist nicht Element von der Menge A,
x gehört nicht zur Menge A.
⊂
A⊂B
Menge A ist eine Teilmenge von Menge B.
Aus a ∈ A folgt a ∈ B.
⊆
Für uns gleichbedeutend wie ⊂ .
∪
A∪B
Vereinigungsmenge der Mengen A und B
A ∪ B = {x|x ∈ A oder x ∈ B}
Merke: In der Mathematik wird ”oder” immer im
einschliessenden Sinn verwendet und nicht im Sinn von
”...entweder...oder...”.
∩
A∩B
Schnittmenge der Mengen A und B
A ∩ B = {x|x ∈ A und x ∈ B}
\
A\B
Differenzmenge der Mengen A und B
A \ B = {x|x ∈ A und x ∈
6 B}
A
A
Komplementmenge der Menge A bezüglich der Grundmenge
A = {x|x 6∈ A}
1
1 Mengenlehre
∅
= {. . .}
leere Menge
N
= {0; 1; 2; 3; 4; . . .}
Menge der natürlichen Zahlen
Z
= {. . . − 2; −1; 0; 1; 2; . . .}
Menge der ganzen Zahlen
Q
= { ab | a ∈ Z und b ∈ N∗ } Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
R
2
N∗
Menge der natürlichen Zahlen ohne 0. (= {1; 2; 3; . . .})
Z+
Z+
0
Z−
Z−
0
Menge
Menge
Menge
Menge
Q+
Q+
0
Q−
Q−
0
...analog zur Bildung bei Z...
R+
R+
0
R−
R−
0
...analog zur Bildung bei Z...
der
der
der
der
positiven ganzen Zahlen (= N∗ ).
positiven ganzen Zahlen und zusätzlich 0 (=N).
negativen ganzen Zahlen.
negativen ganzen Zahlen und zusätzlich 0.
Seien a, b ∈ R und a < b.
]a; b[
= {x ∈ R | a < x < b}
[a; b]
= {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
[a; b[
= {x ∈ R | a ≤ x < b}
]a; b]
= {x ∈ R | a < x ≤ b}
]−∞; b]
]−∞; b[
[a; ∞[
]a; ∞[
=
=
=
=
{x ∈ R | x ≤ b}
{x ∈ R | x < b}
{x ∈ R | a ≤ x}
{x ∈ R | a < x}
Offenes Intervall: Es besteht aus allen reellen Zahlen zwischen a und b, ohne a und
ohne b.
Abgeschlossenes Intervall: Es besteht aus
allen reellen Zahlen zwischen a und b, mit
a und mit b.
Alle reellen Zahlen zwischen a und b, mit
a und ohne b.
Alle reellen Zahlen zwischen a und b, ohne
a und mit b.
Alle reellen Zahlen kleiner oder gleich b.
Alle reellen Zahlen kleiner b.
Alle reellen Zahlen grösser oder gleich a.
Alle reellen Zahlen grösser a.
3
1 Mengenlehre
4
2 Termumformungen
Definition: • Eine Zahl ist ein Term und eine Variable ist ein Term.
• Jede sinnvolle Zusammensetzung von Zahlen und Variablen
(= Terme) durch Operationszeichen und Klammern ergibt
einen neuen Term.
Für alle a, b, c ∈ R gilt:
Kommutativgesetz der Addition
a+b=b+a
der Multiplikation ab = ba
Assoziativgesetz
Distributivgesetz
der Addition
(a + b) + c = a + (b + c)
der Multiplikation (ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
1
2
3
4
5
5
2 Termumformungen
Kürzen
Zähler und Nenner durch den gleichen Term dividieren.
Achtung: Immer den ganzen Zähler und den ganzen Nenner dividieren (nicht nur
einzelne Summanden).
Erweitern
Zähler und Nenner mit dem gleichen Term multiplizieren.
kgV
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen ist das kleinste der
gemeinsamen Vielfachen der beiden Zahlen.
Beispiele: kgV(3; 4) = 12, kgV(4; 6) = 12
ggT
Der grösste gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen ist der grösste der gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen.
Beispiele: ggT(6; 9) = 3, ggT(24; 18) = 6
6
3 Gleichungen (1. Grades)
Definition: Ein Gebilde aus Worten und Zeichen, dessen Inhalt entweder wahr
oder falsch ist, nennen wir Aussage. (Eine Aussage ist immer wahr
oder falsch.)
Definition: Ein Gebilde aus Worten und Zeichen mit Variablen, welches beim
Ersetzen der Variablen durch Elemente der Definitionsmenge in eine
Aussage übergeht heisst Aussageform.
Definition: Gleichungen sind Aussageformen.
Definition: Die Lösungsmenge einer Aussageform besteht aus allen Elementen der Definitionsmenge, welche die Aussageform in eine wahre
Aussage überführen.
Definition: Zwei Gleichungen heissen äquivalent (Symbol: ⇔), wenn sie beim
Ersetzen der Variablen durch die gleichen Elemente der (gemeinsamen) Definitionsmenge entweder beide in eine wahre oder beide in
eine falsche Aussage übergehen.
7
3 Gleichungen (1. Grades)
Um äquivalente Gleichungen zu gewinnen, hilft die folgende ”Grundpackung” von
Äquivalenzumformungen:
•
•
•
•
•
Termumformungen.
Beidseitige Addition (Subtraktion) einer Zahl.
Beidseitige Multiplikation (Division) mit einer Zahl verschieden von 0 (Null).
Beidseitige Addition eines Terms, der aber zumindest auf der ganzen Definitionsmenge der Gleichung definiert sein muss.
Beidseitige Multiplikation (Division) mit einem Term, der auf der Definitionsmenge der Gleichung definiert sein muss und dort nirgends 0 (Null) werden
darf.
Definition: Eine Gleichung heisst linear, wenn sie äquivalent zur folgenden
Gleichung ist (Variable x):
ax + b = 0
a, b ∈ R
”Lineare Gleichung” und ”Gleichung 1. Grades” sind Synonyme.
Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, kehrt
das Ungleichheitszeichen:
< ! >
≤ ! ≥
8
4 Potenzen
Faktor
1018
1015
1012
109
106
103
102
101
100
10−1
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
Vorsatz
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Kilo
Hekto
Deka
Dezi
Zenti
Milli
Mikro
Nano
Piko
Femto
Atto
Zeichen
E
P
T
G
M
k
h
da
d
c
m
µ
n
p
f
a
Dezimalzahl
1 000 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000 000
1 000 000 000 000
1 000 000 000
1 000 000
1 000
100
10
1
0.1
0.01
0.001
0.000 001
0.000 000 001
0.000 000 000 001
0.000 000 000 000 001
0.000 000 000 000 000 001
Zahlwort
Trillion
Billiarde
Billion
Milliarde
Million
Tausend
Hundert
Zehn
Eins
Zehntel
Hundertstel
Tausendstel
Millionstel
Milliardstel
Billionstel
Billiardstel
Trillionstel
9
4 Potenzen
Potenz
a
n
Exponent
Basis
Definition: Potenzen an mit natürlichen Exponenten grösser Null (n ∈ N∗ )
und reellen Basen (a ∈ R) sind wie folgt definiert:
an = a
| · a ·{z. . . · a}
n Faktoren
Definition: Für Potenzen an mit ganzen Exponenten (n ∈ Z) und Basen verschieden von Null (a ∈ R \ {0}) gilt:
a−n =
1
an
,
a0 = 1
Hierarchie: Potenzieren vor Punktrechnen vor Strichrechnen!
10
Für alle n, m ∈ Z und für alle a, b ∈ R \ {0} gilt:
an · am = an+m
1
an
= an−m
am
2
an · bn = (ab)n
3
an a n
=
bn
b
4
(an )m = anm
5
Quadratwurzel
√
a
Radikand
√
Definition: Unter a (a ∈ R+
0 ) wird jene nicht negative Zahl verstanden,
deren Quadrat a ergibt:
√ 2
a =a
11
4 Potenzen
Für alle a, b ∈ R+
0 und für alle n ∈ Z gelten die folgenden Wurzelgesetze:
√
a·
√
b=
√
1
ab
r
√
a
a
√ =
b
b
√ n √ n
a = a
2
(b > 0)
(a > 0)
3
√
∗
Definition: Unter n a (a ∈ R+
0 , n ∈ N ) wird jene nicht negative Zahl verstanden, deren n-te Potenz a ergibt:
n
√
n
a =a
√
Begriffe: n a n-te Wurzel aus a
n
Wurzelexponent
a
Radikand
1
∗
Definition: Potenzen der Form a n (a ∈ R+
0 , n ∈ N ) sind wie folgt definiert:
1
an =
z
√
n
a
Definition: Potenzen der Form a n (a ∈ R+ , n ∈ N∗ , z ∈ Z) sind wie folgt
definiert:
√
√ z
z
a n = n az = n a
12
Für alle n, m ∈ Q und a, b ∈ R+ gelten die folgenden Potenzgesetze:
an · am = an+m
1
an
= an−m
am
2
an · bn = (ab)n
3
an a n
=
bn
b
4
(an )m = anm
5
∗
Für alle a, b ∈ R+
0 , q ∈ Q und m, n ∈ N gelten die folgenden Wurzelgesetze:
√
n
a·
√
n
b=
√
n
ab
r
√
n
a
a
√
(b > 0)
= n
n
b
b
q
√
n √
m
a = n·m a
1
2
3
13
4 Potenzen
14
5 Lineare Gleichungssysteme
Definition: Eine Anzahl (≥ 2) Gleichungen über derselben Grundmenge bilden
mit der Verknüpfung ∧ (”und”) ein Gleichungssystem.
Definition: Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems besteht aus jenen
Elementen (Paare, Tripel,...), welche nach Einsetzen alle Gleichungen zugleich in eine wahre Aussage überführen.
Definition: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus lauter linearen Gleichungen.
15
5 Lineare Gleichungssysteme
16
6 Funktionen (1. Grades)
Definition: Eine Funktion ist eine ”Dreiheit” bestehend aus
• Definitionsmenge
• Bildmenge
• einer Zuordnung wie folgt: Jedes Element der Definitionsmenge
wird auf genau ein Element der Bildmenge abgebildet.
Definition: Die Menge der Elemente aus der Bildmenge, die tatsächlich getroffen werden, heisst Wertemenge.
17
6 Funktionen (1. Grades)
Für die Funktion f von D (Definitionsmenge) nach B (Bildmenge) schreibt man:
f: D → B
Wird das Element x (∈ D) auf y (∈ B) abgebildet, schreibt man:
x 7→ y
Kann man y aus x durch einen Term berechnen (er wird Funktionsterm f (x)
genannt), so schreibt man die Zuordnungsvorschrift:
x 7→ f (x) oder
y = f (x) (Funktionsgleichung)
Die vollständige Funktionsbeschreibung der Funktion aus Übung ?? lautet somit:
f : N → N; f (x) = 2x oder
f : N → N; y = 2x oder
f : N → N; x 7→ 2x
y = 2x wird als Koordinatengleichung der Funktion f bezeichnet und dient zur
Darstellung der Funktion f in einem Koordinatensystem.
Sprechweisen:
f : D → B ”Funktion f von D nach B”
f (x) ”das Bild von x unter der Funktion f ” oder ”f von x”
Eine Funktion, bei welcher sowohl die Definitions- als auch die Bildmenge Teilmengen von R sind, wird häufig als so genannten Graph in einem kartesischen
Koordinatensystem dargestellt.
Der Graph Gf der Funktion f ist nichts Anderes als die Darstellung der Menge
{(x|f (x))|x ∈ Df } in einem Koordinatensystem.
18
Definition: Lineare Funktionen sind Funktionen mit der Abbildungsvorschrift der Form
f (x) = mx + b
mit
m, b ∈ R m 6= 0
”Lineare Funktion” und ”Funktion 1. Grades” sind Synonyme.
Der Graph einer linearen Funktion f : R → R; f (x) = mx + b ist eine Gerade
mit den folgenden Eigenschaften:
Gf
y
P2 (x2 |y2 )
m: Steigung
∆y
P1 (x1 |y1 )
m=
∆x
b
∆y
∆x
=
y2 − y1
x2 − x1
b: Ordinatenabschnitt
x
Definition: Die Betragsfunktion (kurz: der Betrag) ist eine abschnittsweise
lineare Funktion mit der vollständigen Funktionsvorschrift
f : R → R; f (x) = |x|
wobei |x| wie folgt definiert ist:
x falls x ∈ R+
0
|x| =
−x falls x ∈ R−
19
6 Funktionen (1. Grades)
20
7 Kombinatorik
Definition: Fakultäten Für n ∈ N ist definiert:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1 ,
0! = 1 ,
1! = 1
Definition: Binomialkoeffizienten Für 0 ≤ k ≤ n ∈ N ist definiert:
n!
n
0
n
=1
=1 ,
,
=
0
0
k
k!(n − k)!
21
7 Kombinatorik
Definition: Die n-stelligen Zeichenketten (Wörter), in welchen jedes der n verschiedenen Zeichen genau einmal vorkommt, heissen Permutationen ohne Wiederholungen der Länge n.
Satz:
Die Anzahl Permutationen ohne Wiederholungen der Länge
n ist:
P (n) = n!
Definition: Die k-stelligen Zeichenketten (Wörter), in welchen jedes der n verschiedenen Zeichen höchstens einmal vorkommt, heissen Variationen ohne Wiederholungen der Länge k aus n Zeichen. (k ≤ n)
Satz:
Die Anzahl Variationen ohne Wiederholungen der Länge k
aus n Zeichen ist:
n!
V (k|n) =
(n − k)!
Definition: Eine Auswahl von k Zeichen aus einer Menge von n verschiedenen
Zeichen heisst Kombination ohne Wiederholungen der Länge
k aus n Zeichen. (k ≤ n)
Satz:
22
Die Anzahl Kombinationen ohne Wiederholungen der Länge
k aus n Zeichen ist:
n
C(k|n) =
k
Definition: Die n-stelligen Zeichenketten (Wörter) mit m1 Zeichen der 1. Sorte,
m2 Zeichen der 2. Sorte,... und mr Zeichen der r-ten Sorte heissen
Permutationen mit Wiederholungen der Länge n mit mi Zeichen der i-ten Sorte. (m1 + m2 + . . . + mr = n)
Satz:
Die Anzahl Permutationen mit Wiederholungen der Länge
n mit mi Zeichen der i-ten Sorte ist:
Pn (m1 |m2 | . . . |mr ) =
n!
m1 !m2 ! . . . mr !
Definition: Die k-stelligen Zeichenketten (Wörter), in welchen jedes der n verschiedenen Zeichen beliebig oft vorkommen kann, heissen Variationen mit Wiederholungen der Länge k aus n Zeichen.
Satz:
Die Anzahl Variationen mit Wiederholungen der Länge k aus
n Zeichen ist:
V (k|n) = nk
Definition: Eine Auswahl von k Zeichen aus n verschiedenen Zeichen, wobei
jedes der n Zeichen unendlich oft zur Verfügung steht, heisst Kombination mit Wiederholungen der Länge k aus n Zeichen.
Satz:
Die Anzahl Kombinationen mit Wiederholungen der Länge
k aus n Zeichen ist:
n+k−1
C(k|n) =
k
23
7 Kombinatorik
24
8 Quadratische Gleichungen
Definition: Eine Gleichung heisst quadratisch, wenn sie äquivalent zur folgenden Gleichung ist (Variable x):
ax2 + bx + c = 0
a, b, c ∈ R, a 6= 0
Die oben stehende Form heisst Grundform einer quadratischen Gleichung. ”Quadratische Gleichung” und ”Gleichung 2. Grades” sind
Synonyme.
Die allfälligen Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 lassen sich
nach der folgenden Lösungsformel berechnen:
x1/2 =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Den Radikanden b2 − 4ac bezeichnet man als Diskriminante (D).

genau zwei Lösungen, falls D > 0 .





genau eine Lösung, falls D = 0 .
Eine quadratische Gleichung hat





keine Lösung, falls D < 0 .
Definition: Gleichungen, bei welchen die Variable im Nenner vorkommt, werden
Bruchgleichungen genannt.
25
8 Quadratische Gleichungen
Satz von Vieta: Sind x1 und x2 die Lösungen von ax2 + bx + c = 0, so gilt:
x1 + x2 = −
b
a
und
x1 x2 =
c
a
Der Term ax2 +bx+c ist genau dann in ein Produkt aus Linearfaktoren zerlegbar,
wenn die Gleichung ax2 + bx + c = 0 Lösungen hat.
Sind x1 und x2 die Lösungen von der Gleichung ax2 + bx + c = 0, dann ist der
Term ax2 + bx + c in das Produkt a(x − x1 )(x − x2 ) zerlegbar.
26
9 Logarithmen
Definition: Der Logarithmus von c zur Basis b (b ∈ R+ \{1}, c ∈ R+ ) ist
diejenige reelle Zahl x, mit welcher die Basis b potenziert werden
muss, um die Zahl c zu erhalten.
logb c = x
⇔
bx = c
Fragestellung zu logb c: ”b hoch was gibt c?”
Definition: Drei Logarithmen mit bestimmten Basen haben aufgrund ihrer
häufigen Anwendung eine herausragende Stellung, weshalb eine
abgekürzte Schreibweise existiert:
Basis 10:
Basis e = 2.718 . . .:
log10 c = lg c
loge c = ln c
Basis 2:
log2 c = lb c
(Zehnerlogarithmus)
(Logarithmus naturalis,
e: Eulersche Zahl)
(Zweierlogarithmus)
Für alle x ∈ R, y ∈ R+ und b ∈ R+ \{1} gilt:
logb (bx ) = x
blogb y = y
27
9 Logarithmen
Für alle u, v ∈ R+ , r ∈ R, b ∈ R+ \{1} gelten die folgenden
Logarithmengesetze:
logb (u · v) = logb u + logb v
logb
u
v
= logb u − logb v
1
2
logb (ur ) = r · logb u
3
Für alle x ∈ R+ und a, b ∈ R+ \{1} gelten die Basiswechsel:
logb x =
28
lg x
loga x
ln x
=
=
ln b
lg b
loga b
10 Quadratische Funktionen
Definition: Quadratische Funktionen sind Funktionen mit der Abbildungsvorschrift der Form
f (x) = ax2 + bx + c
mit
a, b, c ∈ R, a 6= 0
Die oben stehende Form heisst Grundform einer quadratischen
Funktion. ”Quadratische Funktion” und ”Funktion 2. Grades” sind
Synonyme.
Definition: Der Graph einer quadratischen Funktion heisst Parabel.
Definition: Jede Parabel p: y = ax2 + bx + c besitzt entweder einen Hoch- oder
einen Tiefpunkt. Dieser Punkt heisst Scheitel.
Satz:
Die Scheitelkoordinaten des Graphen mit dem Funktionsterm
b
b
f (x) = ax2 + bx + c lassen sich berechnen durch (− 2a
|f (− 2a
)).
Satz:
Die Öffnung der Parabel
p: y = ax2 + bx + c ist
nach oben, falls a > 0.
nach unten, falls a < 0.
Definition: x heisst Nullstelle von der Funktion f , wenn f (x) = 0.
29
10 Quadratische Funktionen
1 Ersetzt man in einer Koordinatengleichung x durch x − d, so wird der Graph
um +d Einheiten in x-Richtung verschoben.
2 Ersetzt man in einer Koordinatengleichung y durch y − d, so wird der Graph
um +d Einheiten in y-Richtung verschoben.
3 Ersetzt man in einer Koordinatengleichung x durch kx, so wird der Graph
um den Faktor k1 in x-Richtung bezüglich der y-Achse gestreckt.
4 Ersetzt man in einer Koordinatengleichung y durch ky, so wird der Graph
um den Faktor k1 in y-Richtung bezüglich der x-Achse gestreckt.
Jede Parabel p: y = ax2 + bx + c lässt sich in die so genannte Scheitelform
y = a(x − u)2 + v
bringen. Die Scheitelkoordinaten sind (u|v).
Definition: Existiert in der Menge aller Funktionswerte (=Wertemenge) ein
kleinster bzw. grösster Wert, heisst dieser Minimum bzw. Maximum.
30
11 Exponential- und
Logarithmusfunktionen
Definition: Die Funktion
f : R → R; f (x) = bx
mit
b ∈ R+ \ {1}
heisst Exponentialfunktion.
Definition: Die Funktion
f : R+ → R; f (x) = logb x
mit
b ∈ R+ \ {1}
heisst Logarithmusfunktion.
31
11 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Definition: Exponentielle Prozesse haben eine Funktionsgleichung der
Form:
f (t) = f0 · bt
mit
b ∈ R+ \ {1}
Begriffe: f0
t
b
Anfangswert (t = 0)
(Zeit-)Variable
Wachstums- oder Abnahmefaktor
Definition: Bei exponentiellem Wachstum wird ein exponentieller Prozess
durch eine Funktionsgleichung der folgenden Form beschrieben:
f (t) = f0 · bt
mit
b>1
p
Zur Wachstumsrate p % gehört der Wachstumsfaktor b = 1 + 100
p t
und die Wachstumsfunktion f (t) = f0 · (1 + 100 ) .
Definition: Bei exponentieller Abnahme wird ein exponentieller Prozess
durch eine Funktionsgleichung der folgenden Form beschrieben:
f (t) = f0 · bt
mit
0<b<1
p
Zur Abnahmerate p % gehört der Abnahmefaktor b = 1 − 100
und
p t
die Abnahmefunktion f (t) = f0 · (1 − 100
).
Die Halbwertszeit T 1 ist die Zeit, nach welcher sich der Funkti2
onswert halbiert.
32
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Definition: Ein Stichprobenraum Ω eines Zufallsexperiments ist die Menge,
die folgende Bedingungen erfüllt:
• Jedes Element von Ω bezeichnet ein Ergebnis des Experiments.
• Jedem Versuchsausgang des Experiments entspricht genau ein
Element aus Ω.
Definition: Ein Ereignis ist eine Teilmenge vom Stichprobenraum Ω.
Das Ereignis E ist eingetreten, wenn das Ergebnis des Experiments
ein Element von E ist.
Definition: Ein Ereignis, das aus einem einzigen Element vom Stichprobenraum
Ω besteht heisst Elementarereignis.
Definition: Ein Ereignisraum E besteht aus Teilmengen vom Stichprobenraum Ω und hat die folgenden Eigenschaften:
• ∅∈E
• Ω∈E
• E∈E ⇒E∈E
(E = Ω \ E, ”Gegenereignis” von E)
• E, F ∈ E ⇒ E ∩ F ∈ E
• E, F ∈ E ⇒ E ∪ F ∈ E
Definition: Die Funktion P : E → R heisst Wahrscheinlichkeitsfunktion,
falls P die folgenden Axiome von Kolmogoroff erfüllt:
• Für alle E ∈ E gilt: 0 ≤ P (E) ≤ 1
• P (Ω) = 1
• Für alle E, F ∈ E gilt: E ∩F = ∅ ⇒ P (E ∪F ) = P (E)+P (F )
Definition: Das Tripel (Ω, E, P ) heisst Wahrscheinlichkeitsraum.
33
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Bei einem Zufallsexperiment mit Stichprobenraum Ω und Ereignisraum E gelten
für beliebige Ereignisse E, F ∈ E die folgenden Sätze:
1 E ⊂ F ⇒ P (E) ≤ P (F )
2 P (E) = 1 − P (E)
3 P (E ∪ F ) = P (E) + P (F ) − P (E ∩ F )
Definition: Ein Zufallsexperiment mit dem Stichprobenraum
Ω = {ω1 ; ω2 ; . . . ; ωn } heisst Laplace-Experiment, falls
P ({ω1 }) = P ({ω2 }) = . . . = P ({ωn }).
Satz:
Für Laplace-Experimente gilt:
P (E) =
Anzahl für E günstige Elementarereignisse
Anzahl mögliche Elementarereignisse
1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses in einem
mehrstufigen Zufallsexperiment ist gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Elementarereignis führt.
2. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu diesem Ereignis
führen.
Definition: Ein Zufallsexperiment ist ein Bernoulli-Experiment, falls es nur
zwei Ergebnisse (Erfolg/Misserfolg) hat.
Definition: Ein Zufallsexperiment, das aus n unabhängigen Durchführungen desselben Bernoulli-Experiments besteht, ist eine BernoulliKette der Länge n.
34
Bei einer Bernoulli-Kette der Länge n sei die Wahrscheinlichkeit für den positiven Ausgang des Einzelversuches p. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das
Eintreffen des Ereignisses Ek , dass genau k Einzelversuche positiv ausgehen:
n
P (Ek ) =
pk (1 − p)n−k
k
Definition: Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, welche jedem Ergebnis
des Stichprobenraums Ω eine reelle Zahl zuordnet.
Definition: Sei WX die Wertemenge der Zufallsvariable X. Die Funktion, welche
jedem Element von WX die Wahrscheinlichkeit P (X = x) zuordnet,
mit der X den Wert x annimmt, wird Wahrscheinlichkeitsverteilung P der Zufallsvariablen X genannt.
Definition: Die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariable X ist
F (x) = P (X ≤ x)
(DF = R).
Sie ordnet also jedem x ∈ R die Wahrscheinlichkeit zu, dass die
Zufallsvariable X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt.
35
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Gleichverteilung
Sei WX = {x1 ; x2 ; . . . ; xn } die Wertemenge der Zufallsvariablen X.
Die Zufallsvariable X heisst gleichverteilt, falls
P (X = xk ) =
1
n
(k ∈ {1; 2; . . . ; n}).
Binomialverteilung
Sei WX = {0; 1; . . . ; n} die Wertemenge der Zufallsvariablen X. Der Parameter
p ∈ ]0; 1[ ist vorgegeben.
Die Zufallsvariable X heisst n-p-binomialverteilt (Schreibweise: X ∼ B(n, p)),
falls
n
pk (1 − p)n−k
(k ∈ {0; 1; . . . ; n}).
P (X = k) =
k
Mit Hilfe des Summenzeichens können Summen mit vielen Summanden bequem geschrieben werden:
n
X
i=1
36
ai = a1 + a2 + . . . + a n
Definition: Der Erwartungswert E(X) einer endlichen Zufallsvariablen X
mit der Wertemenge WX = {x1 ; x2 ; . . . ; xn } ist wie folgt definiert:
E(X) =
n
X
i=1
xi · P (X = xi )
Definition: Die Varianz Var(X) der Zufallsvariable X ist der Erwartungswert
des Quadrates der Abweichung der Zufallsvariable X vom Erwartungswert von der Zufallsvariable X:
Var(X) = E (X − E(X))2
Definition: Die Standardabweichung σ(X) der Zufallsvariable X ist die Quadratwurzel aus der Varianz der Zufallsvariable X:
p
σ(X) = Var(X)
Ist eine Zufallsvariable X n-p-binomialverteilt so gilt:
E(X) = np
,
Var(X) = np(1 − p)
,
σ(X) =
p
np(1 − p)
Normalverteilung
Eine kontinuierliche Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ und Standardabweichung σ heisst µ-σ-normalverteilt, wenn sie die folgende Dichtefunktion f
und Verteilungsfunktion F hat:
Z x
(x−µ)2
(t−µ)2
1
1
−
2
f (x) = √ e 2σ
e− 2σ2 dt
,
F (x) = √
σ 2π
σ 2π −∞
37
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Standard-Normalverteilung
Eine kontinuierliche Zufallsvariable X mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1 heisst 0-1-normalverteilt oder standard-normalverteilt, wenn
sie die folgende Dichtefunktion ϕ und Verteilungsfunktion Φ hat:
Z x
t2
1 − x2
1
e− 2 dt
ϕ(x) = √ e 2
,
Φ(x) = √
2π
2π −∞
Der Graph der Dichtefunktion einer Normalverteilung heisst Gaussche
Glockenkurve.
ϕ(x)
0.4
0.3
0.2
0.1
x
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
Wichtige Eigenschaften:
• Der Graph der Dichtefunktion der Normalverteilung zeigt eine symmetrische
Glockenform mit Maximum in µ (=Erwartungswert).
• Die Fläche unter der Gausschen Glockenkurve darf als Mass für die Wahrscheinlichkeit betrachtet werden.
Die Zufallsvariable X sei µ-σ-normalverteilt. Dann gilt für die Werte der Verteilungsfunktion F
x−µ
F (x) = P (X ≤ x) = Φ
,
σ
wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung ist.
38
Die Approximation der n-p-Binomialverteilung durch die
µ-σ-Normalverteilung ist gut,
p
falls np(1 − p) > 9, wobei µ = np und σ = np(1 − p).
39
12 Wahrscheinlichkeitsrechnung
40
13 Statistik
Definition: Das n-Tupel von Daten, Zahlen oder Beobachtungen
x1 , x2 , x3 , . . . , xn
ist eine Stichprobe vom Stichprobenumfang n.
Merkmale
quantitativ
stetig
diskret
qualitativ
ordinal
nominal
Klasse
Klassengrenzen
Klassenmitte
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit
41
13 Statistik
Definition: Der Mittelwert x einer Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn ist wie folgt
definiert:
n
1X
x=
xi
n i=1
Definition: Der Median x
e einer Stichprobe ist jener Wert, welcher in der Mitte
der sortierten Werteliste liegt – oder allenfalls der Durchschnitt der
beiden in der Mitte liegenden Werte.
Definition: Das Maximum einer Stichprobe ist der grösste auftretende Wert.
Er wird häufig mit xmax bezeichnet.
Definition: Das Minimum einer Stichprobe ist der kleinste auftretende Wert.
Er wird häufig mit xmin bezeichnet.
Definition: Die Varianz einer Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn ist wie folgt definiert:
n
1 X
var(x1 , . . . , xn ) =
(xi − x)2
n − 1 i=1
Definition: Die Standardabweichung s einer Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn ist
wie folgt definiert:
p
s = var(x1 , . . . , xn )
42