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5. Aufgabenblatt vom Dienstag, den 16.November 2004 zur Vorlesung
Mathematik fu
 r Informatiker III
(Frank Homann)
Abgabe am Donnerstag, den 25.November 2004 bis 1300
1.
Lotterie
2.
Momente
(3 Punkte) Jedes Jahr gibt es eine Weihnachtslotterie mit N Losen und M
Hauptgewinnen und wie im Rest des Jahres ist M viel kleiner als N. Wieviele Jahre (sagen wir n) muss ein braver Burger spielen, der jedes Jahr 1 Los kauft, und mit
Wahrscheinlichkeit mindestens p0 wenigstens einmal in diesen Jahren einen Hauptgewinn ziehen mochte. Modellieren Sie dies mit einer Poisson{Verteilung und rechnen Sie
einige konkrete Werte aus.
(1+2 Punkte)
(a) Sei X eine auf dem Intervall (a; b) gleichverteilte Zufallsvariable. Berechnen Sie die
k{ten Momente, fur k 1
(b) Sei X eine Zufallsvariable mit Exponentialverteilung mit Dichte e x fur x > 0
ein > 0. Berechnen Sie die Verteilungsfunktion und die k{ten Momente.
3.
Hilfsmittel
(3 Punkte) Das zentrale Hilfsmittel bei der Berechnung von Erwartungswerten ist der folgende Satz.
Sei X eine Zufallsvariable und g : R ! R eine stetige Funktion. Beweisen Sie, dass
E(g(X)) = x2Im(X ) g(x)p(X = x) fur den Fall X diskret und unter der Annahme,
dass die auftretenden Summen absolut konvergieren.
P
4.
Normalverteilung
5.
Vektorraume
(3 Punkte) Benutzen Sie die Approximation der Binomial{ durch
die Normalverteilung, um die Wahrscheinlichkeit abzuschatzen, dass bei 6000 Wurfen
eines fairen Wurfels die 6 mindestens 1100 Mal fallt.
V bezeichne den Vektorraum der stetigen Funktionen von R
nach R uber dem Korper R. Welche der folgenden Teilmengen sind Unterraume von V ?
(5 Punkte)
A = ff
B = ff
C = ff
D = ff
E = ff
2V
2V
2V
2V
2V
j f( 1) = f(1)g
j f( 1) = f(1)g
j (f( 1)) = (f(1)) g
j f ist momoton wachsendg
j f ist monoton wachsend oder monoton fallendg
2
2
Naturlich gehort zu jeder Antwort eine kurze Begrundung, insbesondere sind negative
Antworten durch konkrete Beispiele zu belegen.