7. ¨Ubung zur Mathematischen Grundlagen III

W. Syzdek, B. Szemberg
21.05.2008
7. Übung zur Mathematischen Grundlagen III
Abgabe bis Montag, den 26.05.2008, 10 Uhr, in den gekennzeichneten Einwurfkasten (6) in T03R03 Gang D.
Aufgabe 1: Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und sei X : Ω −→ ΩX := X (Ω) eine diskrete
Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass die Funktion PX : 2ΩX −→ R mit
PX (A) := P (X ∈ A)
für A ⊆ ΩX
eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf ΩX ist.
Aufgabe 2: Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable X mit der folgenden Verteilungstabelle
xi −3 −2 −1 0 1 2
pi 0.1 0.2 0.2 0.3 p 0.1
Berechnen Sie den Wert des Parameters p und die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariable
Y := X 2 + 2.
Aufgabe 3: In einem Spiel ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses n Euro zu gewinnen proportional
zu n!1 , n = 0, 1, 2, . . ..
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens 3 Euro gewinnt?
Aufgabe 4: Zeigen Sie, dass
f (n) = p · q n−1
mit 0 < p < 1 und q = 1 − p eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf der Menge Ω = {1, 2, 3, . . . } ist.
∞
P
Weiter überprüfen Sie, dass die Reihe
n · f (n) konvergent ist, und berechnen Sie den Summenwert.
n=1