Testübung in Stochastik vom SS 2011 Prof. Dr

Testübung in Stochastik vom SS 2011
(Bitte notieren, Ergebnisse werden mit
dieser Teilnehmernummer bekanntgegeben!
1
Teilnehmer Nr.
Prof. Dr. Sto↵el
Zahl der abgegebenen Blätter (ohne das Aufgabenblatt):
Dieses Aufgabenblatt ist mit den Lösungen als Deckblatt abzugeben!
Bitte beachten Sie die Aufgaben auf der Rückseite!
1) Drei Würfel werden gleichzeitig oder nacheinander geworfen. Die Augenzahlen der
drei Würfel seien mit !1 , !2 und !3 bezeichnet. Die Zufallsvariable Xs sei die Summe
der drei Augenzahlen, also Xs (!1 , !2 , !3 ) = !1 +!2 +!3 und die Zufallsvariable Xp sei
das Produkt der drei Augenzahlen, also Xp (!1 , !2 , !3 ) = !1 · !2 · !3 . Ein im Ergebnis
auftretender Bruch ist bei allen Teilaufgaben soweit wie möglich zu kürzen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt der drei Augenzahlen 27
beträgt, also pa = P {Xp = 27} .
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der Augenzahlen 4 beträgt,
also also die Wahrscheinlichkeit pb = P {Xs = 4} .
c) Sind die beiden Zufallsvariablen Xs und Xp stochastisch unabhängig? Begründen Sie
Ihre Antwort!
d) Ein Würfel wird so oft geworfen, bis er zum ersten Mal eine Eins zeigt. Die Zahl der
hierfür notwendigen Würfe sei die Zufallsvariable Xw . Berechnen Sie für beliebiges
k 2 N die Wahrscheinlichkeit pk = P {Xw = k} , dass beim k. Wurf zum ersten Mal
eine Eins auftritt.
Lösungshinweis: Berechnen Sie zunächst p1 , p2 , p3 , p4 .
2) Die Zufallsvariable X hat die Verteilungsfunktion (siehe auch die Abb. rechts)
FX (t) =
8
0
>
>
1
>
>
>
16
>
>
>
3
< 16
11
>
>
16
>
>
>
15
>
>
>
: 16
1
falls t < 1
falls 1  t < 2
falls 2  t < 3
falls 3  t < 4
falls 4  t < 5
falls 5  t
a) Geben Sie alle Werte xk an, die diese Zufallsvariable annimmt.
b) Geben Sie alle Wahrscheinlichkeiten pk = P {X = xk } an.
c) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) (als Bruch ganzer Zahlen, der so weit wie
möglich gekürzt ist).
3)a)
3)b)
4)a)
4)b)
5)a)
5)b)
⌃P
Note:
3) Die Zufallsvariable X besitzt die Verteilungsfunktion
8
falls t < 0
<0
1
1
⇡
FX (t) = 2 2 cos 2 t falls 0  t  2
:
1
falls 2 < t
(siehe auch die Abb. rechts).
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p = P { 12  X  32 } möglichst explizit, soweit
dies ohne Taschenrechner möglich ist.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte fX (t) für diese Zufallsvariable. Geben
Sie außerdem die speziellen Funktionswerte fX ( 12 ), fX (1) und fX ( 52 ) zahlenmäßig
an (möglichst explizit, soweit dies ohne Taschenrechner möglich ist).
4) Die Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichte
8
falls t < 1
<0
3
2
fX (t) = 4 (1 t ) falls 1  t  1
:
0
falls 1 < t
(siehe auch die Abb. rechts).
a) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X) für diese Zufallsvariable X.
b) Berechnen Sie die Varianz Var(X) für diese Zufallsvariable X. Ein im Ergebnis auftretender Bruch ist soweit möglich zu kürzen.
5)a) Wir betrachten zwei auf demselben Grundraum definierte diskrete Zufallsvariable X
mit den Funktionswerten x1 , x2 , x3 und Y mit den Funktionswerten y1 , y2 , y3 . Durch
die Wahrscheinlichkeiten qik := P {X = xi } \ {Y = yk } wird eine (3 ⇥ 3)-Matrix Q,
die gemeinsame Verteilung von X und Y , definiert (deren Matrixelemente die Zahlen
qik sind). Berechnen Sie die beiden Randverteilungen
pX
i := P {X = xi }
pYk := P {Y = yk }
und
für
i, k = 1, 2, 3
wenn die Matrix Q gegeben ist durch
0
B
Q=@
4
20
3
20
1
20
3
20
2
20
2
20
2
20
2
20
1
20
1
C
A
b) Ermitteln Sie aus dieser Matrix, ob die Zufallsvariablen X und Y stochastisch unabhängig sind.