Ubungen zur Theoretischen Physik III
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Blatt 6 WiSe 2016/17 Übungen zur Theoretischen Physik III Aufgabe 17 — Zufallsvariable Wie sieht die Wahrscheinlichkeitsdichte pX (x) einer Zufallsvariablen X aus, falls alle Kumulanten Cn (X) = 0 für n 3? Aufgabe 18 — Korrelation Zeigen Sie, dass im Falle von k Zufallsvariablen X1 , ..., Xk für die Korrelation stets |cor(Xi , Xj )| 1 gelten muss! Aufgabe 19 — Tschebyche↵-Ungleichung Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die kontinuierliche Zufallsvariable X einen Wert R x annimmt, der um mehr als ein vorgegebenes " > 0 vom Mittelwert hXi = dx x pX (x) abweicht, 2 kleiner ist als die durch "2 dividierte Varianz X : P (|x hXi| ") 2 X "2 ! Aufgabe 20 — Funktion einer Zufallsvariable Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit Varianz 1 und Erwartungswert 0. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte für Y = X 2 , überprüfen Sie die Normierung, und berechnen Sie hY i und 2 Y! Aufgabe 21 — inkompressibler Fluss v = ⇡˙ sei das “Geschwindigkeitsfeld” eines Ensembles von Systemen, das sich gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen zeitlich im Phasenraum entwickelt. a) Schreiben Sie die Divergenz rv komponentenweise aus, nutzen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen, und leiten Sie so direkt her, dass rv = 0 ! Dies ist äquivalent zum Liouvilleschen Satz. b) Zeigen Sie, dass dies bedeutet, dass ein mit dem Feld “mitschwimmendes” Volumen V (t) zeitlich konstant bleibt!
