Universität des Saarlandes Lehrstuhl für Statistik und ¨Okonometrie

Universität des Saarlandes
Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie
Prof. Dr. Volker Steinmetz
Dipl. Math. Christoph Stahl
5. Übungsblatt zur Vorlesung Schließende Statistik WS 2002/2003
Aufgabe 27
From an urn containing 10 identical balls numbered 0 through 9, n balls are drawn with
replacement.
(a) What does the law of large numbers tell you about the appearance of zeros in the n
drawings?
(b) How many drawings must be made in order that, with probability at least 0,95, the
relative frequency of the occurence of zeros will be between 0,09 and 0,11?
(c) Use the CLT (central limit theorem) to find the√ probabilty√that among the n numbers
n
n
and n+3
times (inclusive) if
chosen the number 5 will appear between n−3
10
10
(i) n = 25
(ii) n = 100.
Aufgabe 28
Bei einem Meßvorgang wird angenommen, daß er durch eine Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert µ und einer Streuung σ = 0, 1 angemessen beschrieben wird. Wieviele
Messungen, ohne gegenseitige Beeinflussung der Ergebnisse, müssen durchgeführt werden,
damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % der Betrag der Differenz zwischen dem Stichprobenmittelwert der Meßwerte und µ kleiner als 0,02 Einheiten ist? Beantworten Sie die
Frage
(a) mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschev
(b) durch Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes.
Aufgabe 29
Aus der Menge {1, 2, . . . , 10} werden 100 Zahlen mit Zurücklegen gezogen. Bestimmen Sie
approximativ die Wahrscheinlichkeit, daß die Summe dieser Zahlen größer als 550 ist.
n
n
P
P
(Hinweis:
i = n(n+1)
i2 = n(n+1)(2n+1)
)
2
6
i=1
i=1
Aufgabe 30
Die Leitung der Saarbrücker Mensa nimmt an, daß im Schnitt 75% ihrer Gäste mit dem
Essen zufrieden sind. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß unter 100 nach dem
Essen befragten Tischgästen der Mensa
(a) genau 75 mit dem Essen zufrieden sind,
(b) zwischen 70 und 80 Personen mit dem Essen zufrieden sind (approximativ).
Aufgabe 31
Bei einer Wahl treten 2 Kandidaten an. Berechnen Sie (approximativ) die Wahrscheinlichkeit dafür, daß bei 6 Millionen abgegebenen Stimmen der Stimmenunterschied weniger als
1000 Stimmen beträgt. Formulieren Sie zuvor geeignete Annahmen.
Aufgabe 32
(a) Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit, daß eine normalverteilte Zufallsvariable um
höchstens σ von ihrem Erwartungswert abweicht, mit Hilfe des Satzes von Tschebyschev ab. Was stellen Sie fest?
(b) Benutzen Sie die Markovsche Ungleichung mit geeignetem r, um zu zeigen, daß obige
Wahrscheinlichkeit mindestens 0,2 beträgt.
(c) Berechnen Sie obige Wahrscheinlichkeit exakt.
Aufgabe 33
Es sei X = (X1 , . . . , X10 ) einfache Stichprobe zu einer B(3; 0, 5) verteilten Zufallsvariable
Y . Als Realisation von X seien die Werte
(3, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 3, 0, 2)
gegeben. Skizzieren Sie die empirische Verteilungsfunktion sowie die exakte Verteilungsfunktion.
Aufgabe 34
Es sei X = (X1 , . . . , Xn ) eine einfache Stichprobe zu einer Zufallsvariable Y mit Verteilungsfunktion FY . F̂ (·|x1 , . . . , xn ) sei für jedes (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn die empirische Verteilungsfunktion. Zu k ∈ {1, . . . , n} sei für y ∈ R die Zufallsvariable Zk : Ω → R definiert
durch
1 : Xk (ω) ≤ y
Zk (ω) := 1]−∞,y] (Xk (ω)) =
∀k ∈ {1, . . . , n}.
0 :
sonst
(a) Wie sind die Zk verteilt?
(b) Bestimmen Sie EZk und Var Zk .
n
P
1
Zk
n→∞ n k=1
(c) Zeigen Sie plim
= FY (y).
Welchen Satz aus der Vorlesung haben Sie damit bewiesen?