Blatt 6 - Informatik 12

Rolf Wanka
Alexander Raß
Erlangen, 8. Juni 2015
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
SS 2015
Blatt 6
AUFGABE 13:
Für die Analyse des 2-SAT-Algorithmus haben wir ja einen Random Walk auf dem 1-dimensionalen
linearen Array benutzt. Dabei ist der Zustand 0 reflektierend, d. h. wann immer man im Zustand 0
ist, wird im nächsten Schritt mit Wahrscheinlichkeit 1 in den Zustand 1 gewechselt.
Nehmen Sie nun an, daß man mit Wahrscheinlichkeit 12 im Zustand 0 bleibt und nur mit Wahrscheinlichkeit 21 in den Zustand 1 wechselt. Alles andere bleibt unverändert.
Berechnen Sie nun den Erwartungswert für die Anzahl der Schritte, die benötigt werden, um, gestartet im Zustand i, den Zustand n zu erreichen.
AUFGABE 14:
Beweisen Sie das Gesetz der großen Zahlen:
Gegeben sei eine Zufallsvariable X, für die E[X] und Var[X] existieren. Seien ε, δ > 0 beliebig, aber
Var[X]
fest. Dann gilt für alle n ≥
:
ε · δ2
Sind X1 , . . . , Xn unabhängige Zufallsvariablen mit derselben Verteilung wie X und setzt man
Z :=
1 n
· ∑ Xi ,
n i=1
so gilt:
Pr[|Z − E[X]| ≥ δ] ≤ ε .
Hinweis: Berechnen Sie E[Z] und Var[Z] und wenden Sie die Tschebyscheffsche Ungleichung an.
Zur Erinnerung die Tschebyscheffsche Ungleichung: Sei X eine Zufallsvariable. Für jedes ε > 0
gilt:
Var[X]
Pr[|X − E[X]| ≥ ε] ≤
ε2