9. Aufgabenblatt zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Institut für Mathematik, Universität Zürich
Prof. E. Bolthausen
9. Aufgabenblatt zur
Wahrscheinlichkeitstheorie
Abgabe bis Mittwoch, 30. Mai 2007, 13.00
−1
Aufgabe 1 Sei (X, Y ) ein Zufallsvektor, dessen Verteilung P (X,
R Y ) eine Dichte f bezüglich
2
des Lebesgue-Masses λ besitzt. Ferner bezeichne fX (x) := R f (x, y)λ(dy) die Randdichte
von X. Zeigen Sie für alle B ∈ B, dass die Funktion
( R
f (x,y)
B fX (x) λ(dy) falls fX (x) ∈ (0, ∞)
gB (x) :=
0
sonst
eine Version der bedingten Wahrscheinlichkeit von {Y ∈ B} gegeben X ist.
Aufgabe 2 Es seien X ∈ L2 (Ω, F, P ) und G ⊆ F eine Teil-σ-Algebra. Die bedingte Varianz
von X gegeben G ist durch
Var(X|G) := E((X − E(X|G))2 |G)
definiert. Zeigen Sie:
(a) Var(X|G) = E(X 2 |G) − E(X|G)2 .
(b) Var(X) = E(Var(X|G))+Var(E(X|G)).
Aufgabe 3 Seien {Xk }1≤k≤n unabhängige und gleichverteilte Zufallsgrössen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P ), S := X1 + . . . + Xn , g : n → eine integrable Funktion sowie
π eine Permutation auf {1, . . . , n}.
R
R
(a) Zeigen Sie, dass E(g(X1 , . . . , Xn )) = E(g(Xπ(1) , . . . Xπ(n) )).
(b) Zeigen Sie, dass E(X1 |S) = E(X2 |S) P-f.s.
(c) Finden Sie einen expliziten Ausdruck für E(X1 |S) (d.h. stellen Sie E(X1 |S) als eine
Funktion von S dar).
Aufgabe 4 (Central Limit Theorem in Renewal Theory)
Seien {Yn }n∈N eine Folge von Zufallsgrössen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P )
mit Werten in ≥0 , die unabhängig sind und alle dieselbe Verteilung haben, sowie Sn :=
Y1 + . . . Yn für alle n ∈
und Nt := sup{m : Sm ≤ t} für t ∈ . Es gelte E(Y1 ) = µ sowie
Var(Y1 ) = σ 2 ∈ (0, ∞). Zeigen Sie, dass die Folge
(
)
µNt − t
p
σ t/µ n∈N
R
N
schwach gegen die Standardnormalverteilung konvergiert.
Hinweis: Benützen Sie Aufgabe 4 vom 8. Aufgabenblatt.
R