3 a) Gegeben ist eine Binomialverteilung mit

3 a) Gegeben ist eine Binomialverteilung mit Erfolgswahrscheinlichkeit 1/6 (die 6 wird
gewürfelt). Es gilt also: E ( X ) = n ⋅ p =
5n
n
, die Frage ist, wie
und Var ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p ) =
36
6
wahrscheinlich es ist, dass die Abweichung vom Erwartungswert kleiner als c = n ist.
Die Tschebyscheff - Ungleichung lautet: P ( X − E ( X ) ≥ c) ≤
Var ( X )
, sie berechnet
c2
allerdings die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung vom Erwartungswert mindestens c
ist. Es gilt aber: P ( X − E ( X ) < c ) = 1 − P ( X − E ( X ) ≥ c) ≥ 1 −
Var ( X )
.
c2
5n
n
5 31
Das ist in unserem Fall P ( X − < n ) ≥ 1 − 36 = 1 −
=
.
6
n
36 36
3 b) Für diese Berechnung nutzen wir die Linearität des Erwartungswertes aus, also die
Tatsache, dass *) E (aX + b) = a ⋅ E ( X ) + b , dann gilt wegen Var ( X ) = E ([ X − E ( X )]2 ) :
*)
Var (aX + b) = E ([(aX + b) − E (aX + b)]2 ) = E ([aX + b − a ⋅ E ( X ) − b]2 ) =
*)
E ([a ⋅ ( X − E ( X )]2 ) = E (a 2 ⋅[ X − E ( X ]2 ) = a 2 ⋅ E ([ X − E ( X )]2 ) = a 2 ⋅ Var ( X )