Universität Duisburg-Essen SoSe 2013 Fakultät für Mathematik Prof

Universität Duisburg-Essen
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. U. Herkenrath
SoSe 2013
Übungen zur Stochastik I
(Blatt 9)
Aufgabe 24 (5 Punkte)
Die Zufallsgröße X sei N (µ, σ 2 )-verteilt. Geben Sie unter Verwendung der Normalverteilungstabelle die Werte folgender Wahrscheinlichkeiten numerisch an:
P (|X − µ| ≤ σ)
P (|X − µ| ≤ 2σ)
P (|X − µ| ≤ 3σ)
Aufgabe 25 (8 Punkte)
Sei g : R≥0 → R≥0 streng monoton wachsend und X eine Zufallsgröße, für die der Erwartungswert E[g(|X|)] existiert, sei τ > 0.
Beweisen Sie:
E[g(|X|)]
P (|X| ≥ τ ) ≤
g(τ )
und damit weiter:
E[|X|k ]
für k > 0,
τk
Var[X]
P (|X − EX| ≥ τ ) ≤
.
τ2
Hinweis: Beginnen Sie die Abschätzung auf der Menge {g(X) ≥ g(τ )} und berücksichtigen
Sie, dass für Indikatorfunktion 1Ai messbarer Mengen Ai gilt:
E[1Ai ] = P (Ai ).
Vergleichen Sie für X ∼ N (µ, σ 2 ), µ = Erwartungswert, σ 2 = Varianz der Normalverteilung den numerischen Wert P (|X − µ| ≥ σ) ≤ Var[X]
= 1 aus der Tschebyschevσ2
Ungleichung mit dem exakten Wert
P (|X| ≥ τ ) ≤
P (|X − µ| ≥ σ).
Aufgabe 26 (9 Punkte)
Für die stetig verteilte Zufallsgröße X mit Verteilungsfunktion F und Dichte f gelte:
Z +∞
|x|dF (x) =
Z +∞
−∞
|x| f (x)dx < ∞.
−∞
(a) Beweisen Sie:
lim x[1 − F (x)] = 0,
x→∞
lim
x→−∞
xF (x) = 0.
(b) Beweisen Sie damit folgende geometrische Darstellung des Erwartungswertes:
Z +∞
x f (x) dx =
E[X] =
−∞
Z ∞
=
[1 − F (x)] dx −
0
Z 0
F (x) dx.
−∞
Aufgabe 27 (8 Punkte)
Sei X eine Zufallsgröße, deren 2. Moment E[X 2 ] existiert.
Beweisen Sie:
(a) Var [aX + b] = a2 Var[X] für alle a, b ∈ R,
(b) Var[X] = E[X 2 ] − (EX)2 ,
(c) Var[X] = 0 ⇔ P (X = E[X]) = 1.
Berechnen Sie für
X − E[X]
Z := p
Var[X]
E[Z] und Var[Z].
Abgabe: Mittwoch, 26.06.2013, in der Übung (12-14 Uhr) oder Einwurf
Postkasten LE 4. Stock bis 12:00 Uhr