Stochastik, Sommersemester 2014 Prof. Dr. I. Veselić

Stochastik, Sommersemester 2014
Prof. Dr. I. Veselić
Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher
Hausaufgabe 13
Abgabe am 7.6. oder am 9.6. in der Übung
Aufgabe 1. Sei X1 , X2 , . . . eine Folge von Zufallsvariablen mit E(Xi ) = m und Var(Xi ) = σ 2 für i ∈ N.
Es gelte
|Cov(Xi , Xj )| ≤ r(|i − j|)
für eine Funktion r : N → (0, ∞). Zeigen Sie, dass unter der Bedingung
X
1 n−1
(n − k)r(k) → 0
n2 k=1
für n → ∞
(1)
an das „Abklingen“ der Korrelationen das schwache Gesetz der großen Zahlen gilt, d. h.
X1 + X2 + . . . + Xn
lim P n→∞
n
− m > ε = 0 ∀ ε > 0.
Zeigen Sie, um einen Zusatzpunkt zu bekommen, dass die Bedingung limk→∞ r(k) = 0 die Bedingung
(1) impliziert.
Hinweis: Definieren Sie sich die Zufallsvariable Sn = X1 + . . . + Xn . Für eine reelle Zufallsvariable X
P
gilt E((X − E(X))2 ) = Var(X). Beachten Sie Var(Sn ) = ni,j=1 Cov(Xi , Xj ).
Aufgabe 2. Sei K = {x ∈ R2 : |x| ≤ 1} die Einheitskreisscheibe und Z = (Z1 , Z2 ) eine K-wertige Zufallsvariable (auf einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P)) mit Gleichverteilung UK auf K.
Stellen Sie Z in Polarkoordinaten (R, ψ) dar und zeigen Sie, dass die Zufallsvariablen R und ψ unabhängig sind. Welcher Verteilung genügen ψ und R2 ?
Aufgabe 3. Beweisen Sie die folgende Aussage. Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R und Φ dessen
charakteristische Funktion. Dann gilt
(1) |Φ(t) − Φ(s)|2 ≤ 2(1 − <(Φ(t − s))) für alle s, t ∈ R.
(2) t 7→ Φ(t) ist gleichmäßig stetig auf R.
Aufgabe 4. Zeigen Sie mittels maßtheoretischer Induktion für unabhängige Zufallsvariablen X, Y : Ω →
S ⊂ R̄ und messbare Funktionen f, g : S → R
E(f (X)g(Y )) = E(f (X))E(g(Y )).
Spezialisieren Sie anschließend für f (x) = g(x) = x, x ∈ R. Folgern Sie, dass für die Varianz der Summe
unabhängiger Zufallsvariablen
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y )
gilt, wobei Var(X) := E((X − E(X))2 ).