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Aufgaben zu Kapitel 4 der Vorlesung
„Randomisierte Algorithmen“
Aufgabe 4.1
1. Zeigen Sie: Sind X und Y unabhängige Zufallsvariablen (die numerische Werte haben), dann sind auch e X und eY unabhängige
Zufallsvariablen.
2. Finden Sie eine möglichst allgemeine hinreichende Bedingung für
Funktionen f , so dass mit X und Y auch stets f ( X ) und f (Y ) unabhängige Zufallsvariablen sind.
Lösung 4.1
1. Zwei ZV heißen unabhängig, wenn für alle x, y gilt:
Pr [ X = x ∧ Y = y] = Pr [ X = x ] · Pr [Y = y]
Daher:
h
i
Pr e X = x ∧ eY = y = Pr [ X = ln x ∧ Y = ln y]
Injektivität von exp()
= Pr [ X = ln x ] · Pr [Y = ln y] Unabhängigkeit von X und Y
h
i
h
i
= Pr e X = x · Pr eY = y
2. Injektivität von f
Aufgabe 4.2
Eine Zufallsvariable Xi heißt geometrisch verteilt mit Parameter p, wenn sie
Werte t ∈ N = {1, 2, 3, . . .} annimmt und gilt:
Pr [ Xi = t] = p(1 − p)t−1 .
1. Berechnen Sie den Erwartungswert einer geometrisch verteilten Zufallsvariablen.
1
2. Es seien nun X1 , . . . , Xn unabhängige, identisch und geometrisch (mit
gleichem Parameter p) verteilte Zufallsvariablen und X = X1 + · · · +
Xn . Berechnen Sie den Erwartungswert µ von X.
Lösung 4.2
1.
∞
E [ Xi ] =
∑ tp(1 − p)t−1
t =1
∞
= p ∑ t (1 − p ) t −1
t =1
= p·
1
(1 − (1 − p))2
siehe Aufgabenblatt 1
= 1/p
2. E[ X ] = E[∑ Xi ] = ∑ E[ Xi ] = n/p
Aufgabe 4.3
Eine Münze, die bei jedem Wurf mit Wahrscheinlichkeit 1/2 Zahl zeigt,
wird n Mal (unabhängig) geworfen. Die binäre ZV Xi sei 1, falls beim i-ten
Wurf Zahl kommt und 0 sonst. Es sei X = ∑ Xi .
• Welche Schranke liefert die Chebyshev-Ungleichung für die Wahrscheinlichkeit
h
n ni
Pr X − ≥
?
2
4
• Welches Ergebnis liefert die Anwendung der Chernoff-Schranken für
h
n ni
Pr X − ≥
?
2
4
• Welches Ergebnis liefert die Anwendung der Chernoff-Schranken für
n 1√
Pr X − ≥
6n ln n ?
2
2
2
Lösung 4.3
Wir bentuzen folgende Formulierung der Chebyshev-Ungleichung:
Pr [| X − µ X | ≥ a] ≤
var [ X ]
.
a2
Außerdem nutzen wir die Tatsache, dass für unabhängige ZV Xi gilt:
"
#
var
∑ Xi
i
= ∑ var [ Xi ]
i
Im Falle der Münzwürfe ist Xi2 = Xi , daher E Xi2 = 1/2, var [ Xi ] =
1/2 − 1/4 = 1/4 und var [ X ] = n/4.
Damit ergibt sich:
• Chebyshev-Ungleichung:
h
n n/4
4
ni
Pr X − ≥
≤
=
2
4
(n/4)2
n
• Chernoff-Schranke:
h
ni
n Pr X − ≥
2
4
ist wegen µ = n/2 und 0 < δ = 1/2 < 1 eine Abschätzung nach oben
durch 2 exp(−µδ2 /5) möglich:
h
n ni
1n 1
Pr X − ≥
≤ 2 exp(−
) = 2e−n/40
2
4
5 2 22
• Chernoff-Schranke im zweiten Fall:
n 1√
Pr X − ≥
6n ln n
2
2
√
√
ist δ = 12 6n ln n/µ = 12 6n ln n/(n/2) und daher δ2 = 6 lnn n und
−µδ2 /5 = 6 ln n/10) Also
0.6
n 1√
1
−0.6 ln n
Pr X − ≥
6n ln n ≤ 2e
=2
2
2
n
Aufgabe 4.4
Betrachten Sie die folgende Variante r a n d B i t F i x i n g des Bit-FixingAlgorithmus:
3
• Solange aktuelle Adresse x und Zieladresse y verschieden sind, wird
aus den Bitpositionen, an denen sich x und y unterscheiden, zufällig
gleichverteilt ein i gewählt und der Pfad von x nach x ⊕ ei fortgesetzt.
Es soll bewiesen werden, dass wie beim deterministischen Bit-Fixing
auch bei dieser Vorgehensweise beim Routen der Permutation „MatrixTransposition“ mit großer Wahrscheinlichkeit noch „große“ Staus entstehen.
Hier ein paar Hinweise zu einer möglichen Vorgehensweise:
• Es sei c = d/2.
√
• Betrachten Sie die Pakete, die in den N Knoten mit den Adressen
x = ( x1 , x2 , . . . , xc , 0, 0, · · · , 0)
|
{z
} | {z }
c Bits
c Bits
starten.
• Betrachten Sie eine beliebige aber feste Zahl k mit 1 ≤ k ≤ c (die Sie
später geeignet wählen) und die Menge
Sk = {( x1 , x2 , . . . , xc , 0, 0, · · · , 0) | genau k der ersten c Bits sind 1}
Aufgaben:
1. Beweisen Sie für alle 1 ≤ k ≤ n:
n k
(b) (nk) ≤
(a)
≤ (nk)
k
en k
.
k
Hinweis zu (b): Stirlings Formel.
2. Wie groß ist Sk ? Geben Sie eine Abschätzung ohne Binomialkoeffizienten an.
3. Es sei x ∈ Sk und Yx die Zufallsvariable mit
(
1 falls x durch Knoten (0, 0, . . . , 0) transportiert wird
Yx =
0 sonst
Geben Sie eine Abschätzung für E[Yx ] an, in der keine Binomialkoeffizienten vorkommen.
4. Es sei Zk = ∑ x∈Sk Yx . Schätzen Sie E[ Zk ] nach unten ab.
5. Geben Sie eine legale Wahl für k an, so dass E[ Zk ] exponenziell in n
ist. Was bedeutet das?
4
Lösung 4.4
Die folgende Argumentation findet man bei David Karger (Vorlesung Randomized Algorithms (6.856J/18.416J), http://courses.csail.mit.edu/6.
856/current/)
1.
(a) für 1 ≤ k ≤ n ist
nk − n
n k−1
·
=
≤1
k n−1
nk − k
also
n
k
≤
n −1
k −1 ,
und folglich
n
n · ( n − 1) · · · ( n − k + 1)
=
k
1·2···k
n n−1
n−k+1
= ·
···
k k−1
1
n k
n
n
≥ ··· =
k
k
k
(b)
n
n · ( n − 1) · · · ( n − k + 1)
=
k
1·2···k
≤
nk
k!
nk · ek
≤√
≤
2. |Sk | = (kc ) also
2πk · kk (1 + h(k ))
en k
k
c k
k
≤ | Sk | ≤
ec k
k
3. Es ist
E[Yx ] =
1
(2kk)
≥
5
1
2ek
k
k =
1
2e
k
4.
E[ Zk ] =
∑
E[Yx ] ≥
x ∈ Sk
=
n/2
k
1
2e
k
n k 1 k
≥
2k
2e
n k
4ek
5. wähle k = n/8e; dann ist E[ Zk ] ≥
6
n
4en/8e
n/8e
= 2n/8e