Zusatzübung

Dr. Andrej Depperschmidt
Carina Brugger, M.Sc.
Übungen zur Vorlesung
“Stochastik I”
Sommersemester 2014, Zusatzübung, Besprechung am 20.08.2014 von 09-12 Uhr in Raum 05-514.
http://www.mathematik.uni-mainz.de/arbeitsgruppen/stochastik/
Brugger/stochastik-i
Aufgabe 1
Es sei (X , A, µ) ein Maßraum. Zeigen Sie:
(a) Aus A1 ,A2 ∈ A und µ (A1 4 A2 ) = 0 folgt µ (A1 ) = µ (A2 ).
(b) Ist der Maßraum vollständig, dann folgt aus A1 ∈ A und µ (A1 4 A2 ) = 0, dass A2 ∈ A gilt.
Bemerkung: Ein Maßraum (X , A, µ) heißt vollständig, wenn A alle Teilmengen der µ-Nullmengen enthält,
d.h. wenn aus B ∈ A, µ (B) = 0 und A ⊂ B folgt A ∈ A.
Aufgabe 2
Es sei (µ n ) eine Folge von Maßen auf einem meßbareren Raum (Ω, A). Zeigen Sie, dass durch
µ (A) :=
∞
X
µ n (A),
A ∈ A,
n=1
ein Maß µ auf (Ω, A) definiert wird.
Aufgabe 3
Sind f und д integrierbare numerische Funktionen auf einem Maßraum (Ω, A, µ), so sind auch f ∨ д und
f ∧ д integrierbar.
Aufgabe 4
Zeigen Sie: Var[X ] = 0 gilt genau dann, wenn es ein a ∈ R mit P(X = a) = 1 gibt.
Aufgabe 5
Es sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f . Zeigen Sie, dass f genau dann eine gerade Funktion ist, wenn
die charakteristische Funktion von X reellwertig ist.
Aufgabe 6
Sei X eine binomial verteilte Zufallsvariable auf Ω = {0, . . . ,n}. Zeigen Sie, dass das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf Ω absolutstetig zur Gleichverteilung auf ν auf Ω ist und berechnen Sie die RadonNikodym Dichte.
Dr. Andrej Depperschmidt
Carina Brugger, M.Sc.
Aufgabe 7
Berechnen Sie die charakteristische Funktion einer binomial verteilten Zufallsvariablen. Beweisen Sie mit
Hilfe dieser Funktion: Sind X 1 und X 2 unabhängige Bin(n 1 ,p) bzw. Bin(n 2 ,p)-verteilte Zufallsvariablen,
dann ist X 1 + X 2 Bin(n 1 + n 2 ,p)-verteilt.
Aufgabe 8
Es seien X und Y unabhängige identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0 und Varianz√1.
Zeigen Sie mit Hilfe charakteristischer Funktionen: Stimmt die Verteilung der Zufallsvariablen (X +Y )/ 2
mit der von X und Y überein, dann sind X und Y normal verteilt.
Hinweis: Aus den Voraussetzungen erhält man für die charakteristische Funktion eine Gleichung der Form
φ (t ) = [φ (?)]2 . Iterieren Sie diese Gleichung und betrachten Sie die Taylorentwicklung von φ.
Aufgabe 9
Beweisen Sie mit Hilfe der charakteristischen Funktionen das schwache Gesetz der großen Zahlen in der
folgenden Form: Ist (X n )n ∈N eine Folge unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit endliP
chem Erwartunswert m, dann konvergiert n−1 ni=1 X i in Wahrscheinlichkeit gegen m.
Aufgabe 10
Für λ > 0 sei Yλ eine Poisson verteilte Zufallsvariable mit Parameter λ. Zeigen Sie
Yλ − λ
⇒ X , für λ → ∞,
√
λ
wobei X eine standardnormalverteilte Zufallsvariable ist.
Aufgabe 11
Es seien s ≥ 0 und λ > 0. Beweisen Sie:
lim e
X
−λn
n→∞
0≤k ≤ns

0
: s < λ,



(λn) k 

=  1/2 : s = λ,
k!


1
: s < λ.

Anleitung: Ist (X n )n ∈N eine Folge unabhängiger Poisson verteilter Zufallsvariablen mit Parameter λ, so gilt
(begründen!)
P
n
1 X
n
i=1
X
X i ≤ s = e −nλ
0≤k ≤ns
(λn) k
.
k!
Benutzen Sie für den Beweis der Behauptung den zentralen Grenzwertsatz.
Dr. Andrej Depperschmidt
Carina Brugger, M.Sc.
Aufgabe 12
Es seien X 1 ,X 2 , . . . nichtnegative Zufallsvariablen auf (Ω, A, P) und sei G ⊂ A eine σ -Algebra. Zeigen
Sie:
(a) Gilt X n ↑ X fast sicher, so folgt E[X n |G] ↑ E[X |G] fast sicher.
fP
g P
∞
∞
(b) E n=1
X n |G = n=1
E[X n |G].
(c) Wir setzen P(A|G) B E[1A |G] für A ∈ A. Sind B 1 ,B 2 , . . . disjunkte Mengen aus A, dann gilt
∞ B |G) = P∞ P(B |G).
P(∪n=1
n
n
n=1
Aufgabe 13
Seien X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Berechnen Sie E[X |Y ].
Aufgabe 14
Seien X und Y unabhängige und identisch verteilte integrierbare Zufallsvariablen. Zeigen Sie
E[X |X + Y ] = E[Y |X + Y ] =
X +Y
2
fast sicher.
Aufgabe 15
Die bedingte Varianz von X gegeben Y ist definiert durch
g
f
Var[X |Y ] B E (X − E[X |Y ]) 2 Y .
Zeigen Sie
f
g
f
g
Var[X ] = E Var[X |Y ] + Var E[X |Y ] .
Aufgabe 16
Seien X und Y beschränkte Zufallsvariablen. Zeigen Sie
f
g
f
g
E Y E[X |G] = E X E[Y |G] .
Aufgabe 17
Es sei X eine symmetrische Zufallsvariable, d.h. X und −X haben dieselbe Verteilung. Ferner sei ϕ : R → R
eine Funktion mit E[|ϕ(X )|] < ∞. Zeigen Sie:
E[ϕ(X )||X |] =
1
(ϕ(|X |) + ϕ(−|X |) fast sicher.
2