Wahrscheinlichkeitstheorie 2

Institut für Mathematische Statistik
Universität Münster
Prof. Dr. N. Gantert
G. Grüninger
WS 2005/06
Blatt 5
Übungen zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeitstheorie 2
Aufgabe 17 (5 Punkte)
Sei (An )n∈N0 eine aufsteigende Folge von σ–Algebren und seien (Mn )n∈N0 und (Nn )n∈N0 zwei quadratisch integrierbare Martingale bzgl. (An )n∈N0 , d.h. Mn ∈ L2 ∀n ∈ N0 , Nn ∈ L2 ∀n ∈ N0 . Zeigen
Sie:
a) E[Mn Nn ] − E[M0 N0 ] =
n
P
E[(Mi − Mi−1 )(Ni − Ni−1 )].
i=1
b) Var(Mn ) = Var(M0 ) +
n
P
Var(Mi − Mi−1 ).
i=1
Aufgabe 18 (7 Punkte)
Sei (Yn )n∈N eine Folge von reellwertigen, quadrat-integrierbaren Zufallsvariablen. Sei A0 = {∅, Ω}
und An = σ(Y1 , Y2 , . . . , Yn ) für n ∈ N und sei (σn )n∈N eine Folge reeller Zahlen. Für alle n ∈ N
gelte:
E[Yn |An−1 ] = 0 P -f.s. und E[Yn 2 |An−1 ] = σn 2 P -f.s.
Weiter gelte S0 := 0 und Sn :=
n
P
Yi für n ≥ 1.
i=1
a) Zeigen Sie:
∞
X
σk 2 < ∞
=⇒
(Sn )n∈N0
konvergiert P -f.s.
k=1
b) Zeigen Sie: Falls die Bedingung sup|Yn | ≤ M < ∞ erfüllt ist, so gilt auch die Umkehrung von
n≥1
a), d.h.
(Sn )n≥0
konvergiert P -f.s.
⇒
∞
X
σk 2 < ∞.
k=1
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass ein a > 0 existiert mit P (τa = ∞) > 0, wobei
τa = inf{n ≥ 0 : |Sn | > a}.
Aufgabe 19 (8 Punkte)
Gegeben sei jeweils ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und eine Folge von Zufallsvariablen
(Xn )n∈N , die eine aufsteigende Folge von σ–Algebren (An )n∈N0 definiert durch A0 = {∅, Ω}, An =
σ(X1 , . . . , Xn ). Weiter sei jeweils eine Folge (Vn )n∈N0 von Zufallsvariablen definiert.
Überprüfen Sie jeweils, ob es sich bei (Vn )n∈N0 um ein Sub-/Supermartingal bzgl. (An )n∈N0 handelt
und bestimmen Sie die Doobsche Zerlegung.
a) X1 , X2 , . . . u.i.v mit P [Xi = −1] = 32 , P [X = 1] =
1
3
für i ∈ N und V0 := 0, Vn :=
n
P
Xi für
i=1
i ∈ N.
b) X0 := 1 P -f.s., P [Xi = 2x | Xi−1 = x] = P [Xi = x | Xi−1 = x] =
n
P
V0 := 0, Vn :=
Xi für i ∈ N.
1
2
für i ∈ N und
i=1
c) X0 , X1 , X2 , . . . u.i.v mit P [Xi = −1] = P [X = 2] =
Vn−1 + Xn · Xn−1 für i ∈ N.
1
2
für i ∈ N0 und V0 := 0, Vn :=
Abgabe: Dienstag, 22. November 2005 bis 9:15 in das Fach der jeweiligen
Übungsgruppe. Bitte geben Sie auf den Lösungsblättern den Buchstaben der
Übungsgruppe sowie die vollständigen Namen aller Abgebenden an.