Stochastik - Universität des Saarlandes

Prof. Dr. H. Zähle
Dipl.-Math. S. Pokalyuk
Universität des Saarlandes, WS 2010/11
10. Januar 2011
Stochastik
11. Übung
Aufgabe 41
(5 Punkte)
Verifizieren Sie Bemerkung 3.8.15.
Aufgabe 42
(3 Punkte)
i
i
Es seien Ain := [ i−1
n , n ] und Xn (ω) := 1Ain (ω), ω ∈ [0, 1], für i = 1, . . . , n und n ∈ N. Man
interpretiere die Xni als Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B([0, 1]), `|[0,1] ).
Zeigen Sie, dass die Folge (X11 , X21 , X22 , X31 , X32 , X33 , . . .) sowohl in Wahrscheinlichkeit (bzgl. `|[0,1] )
als auch in Lp (`|[0,1] ) für jedes p > 0 konvergiert, dass aber andererseits die Realisierung
(X11 (ω), X21 (ω), X22 (ω), X31 (ω), X32 (ω), X33 (ω), . . .)
für kein einziges ω ∈ [0, 1] konvergiert.
Aufgabe 43
(4 Punkte)
Es seien X1 , X2 , ... unabhängige, Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen auf einem W-Raum (Ω, F, P)
mit
P[Xn = 1] = 1 − P[Xn = 0] = pn ∈ (0, 1).
Geben Sie für jede der folgenden Aussagen jeweils eine äquivalente Bedingung an die Folge (pn )n∈N
an:
p
(i) Xn → 0
(bzgl. P).
(ii) Xn → 0
in Lp (P).
(iii) Xn → 0 P-f.s.
Hinweis: Bei der Beantwortung von (iii) kann das Lemma von Borel-Cantelli hilfreich sein.
Aufgabe 44
(4 Punkte)
Seien (Xn )n∈N und (Yn )n∈N zwei Folgen von Zufallsvariablen und λ > 0. Die Verteilung von Xn
besitze die Lebesgue-Dichte
λx n−1
x∈R
fn (x) := λ 1 −
1(0, nλ ] (x),
n
für jedes n ∈ N. Ferner sei Yn gleichverteilt auf [0, n1 ] für jedes n ∈ N.
(i) Konvergiert Xn in Verteilung gegen eine Zufallsvariable X? Wenn ja, was ist deren Verteilung?
(ii) Zeigen Sie, dass Yn in Verteilung gegen 0 konvergiert. Konvergiert Yn auch in L1 gegen 0?