Prof. Dr. Holger Dette ¨Ubungen zur Vorlesung Wintersemester
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Prof. Dr. Holger Dette
Dr. Melanie Birke
Übungen zur Vorlesung
Wahrscheinlichkeitstheorie I
Wintersemester 2009/2010
Blatt 8
Abgabe: Bis Freitag, den 11.12.2009 um 12.15 Uhr.
Aufgabe 1:
(4 Punkte)
1. Es sei ϕ die charakteristische Funktion einer reellen Zufallsvariablen X. Man zeige, dass für alle
a ∈ IR gilt
Z n
1
exp(−iat)ϕ(t)dt.
P(X = a) = lim
n→∞ 2n −n
2. Man zeige: Die Zufallsvariablen X und Y sind genau dann unabhängig, wenn für die charakteristischen Funktionen gilt ϕ(X,Y ) (s, t) = ϕX (s)ϕY (t) für alle s, t ∈ IR.
3. Es sei ϕ die charakteristische Funktion einer absolut stetigen d-dimensionalen Zufallsvariablen X.
Zeige, dass ϕ nichtnegativ definit ist, d.h., dass gilt
n
X
λk λ̄j ϕ(tk − tj ) ≥ 0 für alle m ∈ IN, λ1 , . . . , λm ∈ C,
I t1 , . . . , tm ∈ IRd .
k,j=1
Aufgabe 2:
(4 Punkte)
Eine Zufallsvariable besitzt eine Gitterverteilung falls für Konstanten a, b > 0 PX ({a + nb|n ∈ ZZ}) = 1
gilt. Es sei ϕX die charakteristische Funktion von X. Man zeige
(a) Besitzt X eine Gitterverteilung, so existiert ein t 6= 0 mit |ϕX (t)| = 1.
(b) Existiert ein t 6= 0 mit |ϕX (t)| = 1, so besitzt X eine Gitterverteilung.
(c) Existieren s, t ∈ IR \ {0} mit s/t ∈
/ Q,
I so gilt P(X = c) = 1 für eine Konstante c.
Aufgabe 3:
(4 Punkte)
Es sei (Xn )n∈IN eine Folge reeller Zufallsvariablen und X eine reelle Zufallsvariable. Man zeige:
(a) Konvergiert Xn fast sicher gegen X, so konvergiert Xn in Wahrscheinlichkeit gegen X
(b) Konvergiert Xn in Wahrscheinlichkeit gegen X und gilt
∞
X
P(|Xn − X| > ε) < ∞,
n=1
so konvergiert Xn fast sicher gegen X.
(c) Es seien X1 , X2 , . . . paarweise unkorrelierte und identisch verteilte Zufallsvariablen mit endlicher
Varianz. Man zeige
n2
1 X
Xi → E[X1 ] fast sicher.
n2 j=1
Aufgabe 4:
(4 Punkte)
Es seien Xn und Yn Folgen von d-dimensionalen Zufallsvariablen, die stochastisch gegen X bzw. Y
konvergieren. Man zeige:
(a) Für jede stetige Funktion h : IRd → IRk konvergiert h(Xn ) gegen h(X).
(b) Für jede konvergente Folge (an )n∈IN von d-dimensionalen Vektoren mit Grenzwert a konvergiert
aTn Xn gegen aT X.
(c) Es konvergiert Xn + Yn stochastisch gegen X + Y und XnT Yn stochastisch gegen X T Y .
