Stochastik II

Institut für Stochastik
Universität Karlsruhe
Dr. B. Klar
Dipl.-Math.oec. W. Lao
WS 2007/2008
Blatt 11
Lösungen zur Vorlesung
Stochastik II
Lösung zu Aufgabe 45
a) Mit ϕ−X (t) = ϕX (−t) = ϕX (t) und dem Eindeutigkeitssatz gilt
P X = P −X ⇐⇒ ϕX (t) = ϕ−X (t) = ϕX (t) ∀ t ∈ R ⇐⇒ ϕX (t) ∈ R
∀t∈R.
b) Nach Voraussetzung ist ϕ reell und nichtnegativ; die Stetigkeit und ϕ(0) = 1 implizieren
R
somit 0 < c = ϕ dλ < ∞, und g = ϕ/c ist eine Dichte. Die zugehörige charakteristische
Funktion ist nach der Umkehrformel für Dichten gegeben durch
Z
Z
2π
2π 1
itx
e−i(−t)x ϕ(x) dx =
f (−t) .
(1)
ψ(t) =
e g(x) dx =
c 2π
c
Da ϕ reell ist, folgt nach a) die Verteilungsgleichheit P X = P −X , d.h. die Dichten f (t) = f (−t)
für alle t ∈ R, und Einsetzen in (1) liefert
ψ(t) =
2πf (t)
c
für alle t ∈ R.
Lösung zu Aufgabe 46
a) X bzw. Y besitzen die Dichte fX (t) = fY (t) = e−t · 1{t>0} ,
II–Skriptums besitzt Z = X − Y die Dichte
 Z∞




e−(ξ+t) e−t dt =


Z∞

0
fZ (ξ) =
fX (ξ + t) fY (t) dt =
Z∞



−∞

e−(ξ+t) e−t dt =



−ξ
und nach 10.13 des Stochastik–
1 −ξ
e
2
1 ξ
e
2




, ξ≥0 



, ξ<0







=
1 −|ξ|
e
.
2
Damit ist die charakteristische Funktion von Z gegeben durch
 0

µ
¶
Z∞
Z
Z∞
1
1
1
1
1
ϕZ (t) =
eitx e−|x| dx = 
e(it+1)x dx + e(it−1)x dx =
+
2
2
2 1 + it 1 − it
−∞
=
−∞
0
1
.
1 + t2
b) Wenden wir Teil b) von Aufgabe 45 auf die reelle und nichtnegative charakteristische Funktion
R
1
ϕZ (t) = 1+t
ϕZ dλ = π aus a) an, so hat das Wahrscheinlichkeitsmaß mit der
2 mit c =
Dichte
ϕZ (t)
1
g(t) :=
=
π
π(1 + t2 )
1
(d.h. gerade die C(0, 1)–Verteilung) die charakteristische Funktion
2π fZ (t)
c
ψ(t) :=
= e−|t|
(t ∈ R) .
c) C(α, β)–verteilte unabhängige Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn besitzen die Darstellung Xj =
βYj + α mit stochastisch unabhängigen und C(0, 1)–verteilten Zufallsvariablen Y1 , . . . , Yn .
Damit besitzt Xj die charakteristische Funktion
ϕXj (t) := eitα ϕYj (βt) = eitα · e−|βt|
und
Pn
j=1 Xj
(j = 1, . . . , n)
nach der Multiplikationsformel die charakteristische Funktion
ϕX1 +...+Xn (t) := einαt · e−|nβt| ,
d.h.
1
n
Pn
j=1 Xj
hat schließlich die charakteristische Funktion
ϕ 1 (X1 +...+Xn ) (t) := eiαt · e−|βt| = ϕXj (t) ,
n
P
und mit dem Eindeutigkeitssatz folgt n1 nj=1 Xj ∼ C(α, β). Wegen E|X1 | = ∞ widerspricht
dies nicht dem starken Gesetz großer Zahlen.
Lösung zu Aufgabe 47
a) Wegen N ⊂ Q ist N abzählbar, damit gilt P (N ) = 0.
b) Es gilt für jedes k ≥ 1

k−1 µ
2X
P (Xk = 1) = P 
j=1

¶
2k−1
2j − 1 2j  X 1
2k−1
1
,
=
=
= ,
2k
2k
2k
2k
2
j=1
1
.
2
Damit sind die Xk Bin(1, 1/2)–verteilt für jedes k.
Sind k ∈ N beliebig und aj ∈ {0, 1} für alle j = 1, . . . , k, so folgt


µ ¶k Y
k
k
k
X
X
a
a
1
j
j
 = 1
P (X1 = a1 , . . . , Xk = ak ) = P 
,
+
=
P (Xj = aj )
2j
2j
2
2k
P (Xk = 0) = 1 − P (Xk = 1) =
j=1
j=1
j=1
und somit die stochastische Unabhängigkeit von X1 , X2 , . . ..
c) Setzt man Yj := 2Xj − 1 für j ≥ 1, so sind Y1 , Y2 , . . . {−1, 1}–wertige Zufallsvariablen auf
Ω mit P (Yj = −1) = P (Yj = 1) = 1/2, und Yj besitzt die charakteristische Funktion
ϕYj (t) = 12 (e−it + eit ) = cos t, j ≥ 1. Es gilt
Zn :=
n
X
j=1
Yj · 2−j = 2 ·
n
X
j=1
|
Xj · 2−j −
{z
n
X
2−j −→ 2 · idΩ − 1 =: Z
P –f.s. .
j=1
}
| {z }
→1
→idΩ
Wegen idΩ ∼ U(0, 1) gilt Z ∼ U(−1, 1), und damit besitzt Z die charakteristische Funktion
sin t
. Nach dem Stetigkeitssatz von Lévy-Cramér gilt
ϕZ (t) =
t
µ ¶
n
Y
t n→∞
sin t
ϕZn =
cos
−→ ϕZ (t) =
.
j
2
t
j=1
2
Lösung zu Aufgabe 48
a) Sei µ := EX1 . Es gilt
Sn2 =
1
n−1
n
X
¡
¢2
(Xj − µ) − (X n − µ)
=
j=1

n
X
1
n−1
(Xj − µ)2 − n(X n − µ)2
j=1



n
=
1X
n
n
·
(Xj − µ)2 −
(X n − µ)2 .
n−1 n
n−1
(2)
j=1
Aus EX14 < ∞ folgt µ < ∞ und E(X1 − µ)2 = V (X1 ) = σ 2 < ∞. Also konvergiert nach
dem starken Gesetz großer Zahlen der zweite Summand fast sicher gegen Null und der erste
Summand fast sicher gegen σ 2 .
b) Mit (2) folgt

¢
√ ¡ 2
n Sn − σ 2 =

n
X
n
1
· √  (Xj − µ)2 − nσ 2 
n−1
n
j=1
√
√
n
n
+
· σ2 −
· n(X n − µ) · (X n − µ).
n−1
n−1
Nach dem zentralen Grenzwertsatz konvergiert der erste Summand in Verteilung gegen die
¡
¢
N 0, τ 2 -Verteilung mit
¡
¢
¡
¢2
τ 2 = V (X1 − µ)2 = E(X1 − µ)4 − E(X1 − µ)2 = E(X1 − µ)4 − σ 4 .
Der zweite Summand konvergiert stochastisch gegen Null.
√
Wiederum nach dem zentralen Grenzwertsatz konvergiert n(X n − µ) in Verteilung gegen
¡
¢
N 0, σ 2 . Da außerdem nach dem schwachen Gesetz großer Zahlen X n − µ stochastisch gegen
Null konvergiert, konvergiert der dritte Summand in Verteilung, und somit auch stochastisch,
gegen Null. Mit dem Lemma von Slutzky folgt die Behauptung.
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