(a) (Raabesches Konvergenzkriterium)

Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
Übung zur Analysis 1
Blatt 10
Musterlösung zur Aufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. (a) (Raabesches Konvergenzkriterium) Sei (an )n eine Folge
positiver reeller Zahlen, β > 1 und c ∈ R sowie
β
an+1
≤1−
an
n+c
P
für fast alle n. Zeigen Sie, dass die Reihe n an konvergiert. Bemerkung:
P
die Voraussetzung β > 1 ist wichtig, wie man an der divergenten Reihe n n1
erkennen kann. Hinweis: Man zeige nacheinander:
• Die Folge ((n+c)an+1 )n ist monoton fallend (zumindest ab einem genügend
großen N ).
• Für fast alle n gilt (β − 1)an ≤ (n − 1 + c)an − (n + c)an+1 .
P
• Für fast alle n gilt (β − 1) M
n=N +1 an ≤ (N + c)aN
Lösung: Die Ungleichung liefert
(n + c)an+1 ≤ (n + c − β)an ≤ (n + c − 1)an ,
also fällt ((n + c)an+1 )n . Wir erhalten außerdem
(β − 1)an ≤ (n + c − 1)an − (n + c)an+1
und durch Aufsummieren für n = N + 1 bis M
(β − 1)
M
X
an ≤ (N + c)aN − (M + c)aM +1 ≤ (N + c)aN .
n=N +1
Nun können wir M gegen unendlich gehen lassen und finden, dass die Reihe
konvergiert.
(b) Zeigen Sie, dass die binomische Reihe aus Aufgabe 3 im Fall s > 0 auch für
x = ±1 konvergiert.
Lösung: Mit an := ns gilt für große n
an+1 n − s
s+1
an = n + 1 = 1 − n + 1
und wir können das Raabesche Konvergenzkriterium anwenden.
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