¨Ubung zur Analysis 1 Blatt 5 Aufgabe 1. Bestimmen Sie alle

Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
Übung zur Analysis 1
Blatt 5
Abgabe bis Do, 20.11., 12 Uhr
Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der Übung
Aufgaben 2-4 zur selbständigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge
1
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1, , 1, , , 1, , , , 1, , , , , 1, , , , , , 1, , , , , , , 1 . . .
2
2 3
2 3 4
2 3 4 5
2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
und der Folgen (bn )n und (cn )n , gegeben durch

−n

1 + 2 , n = 3k
1 + (−1)n n2
bn =
,
cn = 2 + n+1
, n = 3k + 1
n

3n + n2

2,
n = 3k + 2
Aufgabe 2. Sei (an )n eine Folge reeller Zahlen.
(a) Sei a ∈ R so, dass jede Teilfolge von (an )n eine Teilfolge besitzt, die gegen a
konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch (an )n gegen a konvergiert.
(b) Sei (an )n beschränkt. Zeigen Sie, dass die Folge (an )n genau dann konvergiert, wenn sie genau einen Häufungspunkt hat.
Aufgabe 3. Sei a > 0 und 0 < x0 < a1 sowie xn+1 := xn (2 − axn ) für alle
n ∈ N0 . Zeigen Sie induktiv, dass die Folge (xn )n monoton wächst und nach
oben beschränkt ist durch a1 . Begründen Sie, warum die Folge konvergiert, und
bestimmen Sie ihren Grenzwert.
(Hinweis: Welche Gleichung muss der Grenzwert erfüllen?)
Aufgabe 4. Sei p ≥ 2 eine natürliche Zahl und bn ∈ {0, . .P
. , p − 1} für alle
−n
gegen
n ∈ N. Zeigen Sie, dass dann die Folge der Summen sN := N
n=1 bn p
eine Zahl s ∈ [0, 1] konvergiert. Was hat diese Aufgabe (für p = 10) mit der
Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen zu tun?
Zusatzaufgabe 5. Es sei (an )n eine Folge reeller Zahlen. Es sei (bk )k eine weitere
Folge, wobei jedes bk ein Häufungspunkt von (an )n sei. Es sei (bk )k selbst eine
konvergente Folge. Zeigen Sie, dass dann auch limk→∞ bk ein Häufungspunkt von
(an )n ist.
1