Analysis I - TU Ilmenau

Institut für Mathematik
Carsten Trunk
Philipp Schmitz
Übungsblatt 7
30. November 2015
Analysis I
im Wintersemester 2015/2016
Abgabe: In der Übung am 7. Dezember 2015
Definition: Sind (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen und (nk )k∈N eine Folge natürlicher Zahlen
mit n0 < n1 < n2 < . . . , so heißt die Folge (ank )k∈N Teilfolge der Folge (an )n∈N .
Aufgabe 21: Es seien (an )n∈N eine Folge und a eine reelle Zahl. Zeige die Äquivalenz der
folgenden Aussagen.
(i) Die Folge (an )n∈N konvergiert gegen a.
(ii) Jede Teilfolge (ank )k∈N der Folge (an )n∈N enthält eine gegen a konvergente Teilfolge
(ankm )m∈N .
Aufgabe 22: Bestimme den Grenzwert der Folgen
(i) (sn )n∈N mit sn =
(ii) (pn )n≥2 mit pn =
n
X
1
für n ∈ N,
2
k=0 4k − 1
n
Y
k3 − 1
für n ∈ N, n ≥ 2.
3
k=2 k + 1
Hinweis: Verwende bei (i) eine Partialbruchzerlegung. Finde dazu Konstanten a, b ∈ R, sodass
a
b
+ 2k+1
= 4k21−1 gilt.
2k−1
Aufgabe 23 (Wurzelkriterium): Es sei
∞
X
an eine unendliche Reihe mit an ≥ 0 für alle n ∈ N.
n=0
Es gebe ein q ∈ R mit 0 < q < 1 und ein n0 ∈ N, sodass für alle n ≥ n0
√
n
an ≤ q
gilt.
(i) Zeige, dass die Reihe konvergiert.
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(ii) Zeige außerdem, dass die Bedingung
√
n
an < 1 für alle n ≥ n0
nicht hinreichend für die Konvergenz der Reihe
∞
X
an ist.
n=0
Aufgabe 24: Prüfe die nachstehenden Reihen auf Konvergenz,
(i)
∞
X
n4
,
n
n=0 3
(ii)
∞
X
(n − 2)3 n!
,
2n nn
n=0
2
(iii)
∞ X
2n + 3 n
n=0
3n + 2
.