Mathematik für Informatiker Kombinatorik und Analysis ¨Ubungsblatt

Wintersemester 16/17
Dr. Janko Boehm
Mathematik für Informatiker
Kombinatorik und Analysis
Übungsblatt 10
Abgabetermin Montag, den 23.01.2017 vor der Vorlesung.
1. Bestimmen Sie die rationalen Zahlen, die durch die folgenden unendlichen periodischen
Dezimalbrüche dargestellt werden:
r1 = 0.55...
r3 = 0.0483483...
r2 = 0.3636...
r4 = 0.692307692307...
2. Sei d ∈ R mit d > 0 und (cn ) die Folge definiert durch c1 = 1 und
d
1
cn+1 = (cn + )
2
cn
√
(a) Zeigen Sie, dass cn für alle n ≥ 2 durch d von unten beschränkt und monoton
fallend ist.
√
(b) Zeigen Sie, dass (cn ) konvergiert und limn→∞ cn = d.
√
(c) Implementieren Sie die Berechnung von 2 sowohl mittels der Folge (cn ) als auch mit
dem Algorithmus aus Beispiel 5.4.18. Vergleichen Sie die Konvergenzgeschwindigkeit
anhand der Anzahl der korrekten Nachkommastellen der ersten 10 Folgeglieder.
3. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz, und berechnen Sie im Falle von Konvergenz den Grenzwert:
∞
X
−n
(3
+5
−n
∞
X
)
∞
X
2n−1
3n
n=1
n=1
∞
X
(−1)n 2n!n
n=0
2
n2 −2n
n=3
4. Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
∞
X
(−1)n
∞
n
X
(1+(−1)n · 1 )
n2
3−2n
n=0
∞
X
2
n=1
n5
5n
n=0
5. (4 Zusatzpunkte)
(a) Zeigen Sie: Sind (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen positiver reeller Zahlen mit
an
=c>0
n→∞ bn
lim
dann gilt
∞
X
an konvergiert ⇐⇒
n=1
∞
X
bn konvergiert
n=1
Welche Implikation gilt für c = 0?
(b) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
√
∞
2
X
( n − 2)
√
n2 + n4 + 1
n=1
√
∞
2
X
( n − 2)
√
n3 + n4 + 1
n=1