Einzelaufgabe aus der Aufgabensammlung zur

Rolf Haftmann: Aufgabensammlung zur Höheren Mathematik mit ausführlichen Lösungen
(Hinweise zu den Quellen für die Aufgaben)
Aufgabe 14.1
Untersuchen Sie die folgenden Funktionenreihen auf gleichmäßige Konvergenz in R:
∞
a)
cos kx
∑ k3 ,
k=1
∞
b)
1
∑ k2 + x2
!
k=1
Lösung:
∞
Konvergenz der Funktionenreihe
∑
k=1
n
fk (x): Wenn die Folge der Partialsummen Sn (x)= ∑ fk (x)
für n→∞ konvergiert, so heißt der Grenzwert
∞
n
k=1
k=1
k=1
lim ∑ fk (x) Summe der Funktionenreihe.
∑ fk (x)=n→∞
Nach Definition heißt das:
Konvergenz im Punkt x („punktweise
Konvergenz“),
falls für alle ε > 0 eine natürliche Zahl
∞
n
n0 (ε , x) existiert, so dass ∑ fk (x)− ∑ fk (x) < ε für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 (ε , x) gilt.
k=1
k=1
Zu verschiedenen x können dabei verschiedene n0 (ε , x) gehören, d.h., die Konvergenzgeschwindigkeit kann je nach x verschieden sein.
Gleichmäßige Konvergenz, falls für alle x aus dem entsprechenden Bereich ein einheitliches
n0 (ε ) (nicht mehr von x abhängig!) gewählt werden kann, d.h.
gleichmäßige Konvergenz
über dem Intervall
[a, b], falls für alle ε > 0 eine natürliche Zahl n0 (ε )
∞
n
existiert, so dass ∑ fk (x)− ∑ fk (x) < ε für alle n ≥ n0 (ε ), x ∈ [a, b] gilt.
k=1
k=1
∞
Majorantenkriterium:
∞
∑ fk (x) konvergiert gleichmäßig, wenn eine konvergente Zahlenreihe
k=1
∑ ak mit | fk (x)| ≤ ak für alle k und für alle x ∈ [a, b] existiert („Majorante“).
k=1
∞
Als Majoranten können bei den gegebenen Funktionenreihen Reihen der Form
1
∑ kα
verwendet
k=1
werden. Diese konvergieren im Falle α >1. Davon kann man sich analog zur Vorgehensweise bei
Zk
dx
1
Aufgabe 13.111 überzeugen. Für α > 1 gilt nämlich α <
. Daraus folgt
α
k
x
∞
Z
∞
∞
k−1
α
1
dx
1
1
∑ kα = 1+ ∑ kα < 1+ xα = 1+ α −1 = α −1 .
k=1
k=2
1
cos kx 1
a) | fk (x)| = 3 ≤ 3 für alle x ∈ R.
k
k
∞
1
cos kx
Da 3 konvergiert, konvergiert ∑ 3 nach dem Majorantenkriterium gleichmäßig über R.
k
k=1 k
1 1
b) | fk (x)| = 2 2 ≤ 2 für alle x ∈ R.
k +x
k
∞
1
1
Da 2 konvergiert, konvergiert ∑ 2 2 nach dem Majorantenkriterium gleichmäßig über R.
k
k=1 k +x