Blatt 2

Übungen zur Einführung in die Analysis
Blatt 2
Beispiel 12. Aus der Vorlesung wissen wir, dass eine Menge rationaler Zahlen genau
dann offen ist, wenn sie eine Vereinigung von offenen Intervallen ist. Daher ist die Vereinigung
von beliebig vielen offenen Mengen offen. Gilt dies auch für den Durchschnitt? Wenn nicht,
geben Sie eine Gegenbeispiel an.
Beispiel 13. Es sei
xn =
n + (−1)n
n+1
und
1
1
, 1 + i ).
i
10
10
Finde für i = 1, 2, 3 jeweils ein N (i), sodass xn ∈ Ui für alle n ≥ N (i).
Anmerkung: Die N (i) müssen nicht minimal gewählt werden.
Ui = (1 −
Beispiel 14. Zeigen Sie, dass die Folge (xn ) mit
n
28
xn = 1 − 2
n
gegen 1 konvergiert, indem Sie mit Ihren Argumenten von der Definition der Konvergenz
ausgehen. Hinweis: Beroulli-Ungleichung für genügend große n.
Beispiel 15. Zeigen Sie, dass die Folge ((−1)n )n∈N nicht konvergent ist. Hinweis: Sie
können z.B. einen indirekten Beweis führen, indem Sie eine Zahl a als Grenzwert annehmen,
dann ein geeignetes ε > 0 wählen und einen Widerspruch zur Definition der Konvergenz
ableiten.
Beispiel 16. Ist die Folge (xn ) konvergent? Wenn ja, wohin konvergiert sie? Sie dürfen
Satz 1.8.5 und Korollar 1.8.6 verwenden.
(1 − 4n2 )2
(1) xn =
(1 + 2n)(1 − 2n)(4n + 4)2
n3
(2) xn =
(n + 1)2
Beispiel 17. Ist die Folge (xn ) konvergent? Wenn ja, wohin konvergiert sie? Verwenden
Sie Lemma 1.8.8.
(−1)n n2
(1) xn =
(n + 3)3
(−1)n n
(2) xn =
1+n
Beispiel 18. Zeigen Sie, dass die Folge n3 /2n n∈N eine Nullfolge ist.
Hinweis: Es folgt n3 /2n ≤ 1/n aus n4 ≤ 2n . Zum Induktionsschritt: Für ausreichend
große n, ist der Faktor, der n4 in (n + 1)4 umwandelt, kleiner als 2.
Beispiel 19. Finden Sie jeweils ein Beispiel für Folgen (xn ) und (yn ) mit lim(xn yn ) = 0
und
(1) lim xn = ∞ (2) lim xn ∈ R \ {0} (3) (xn ) divergent, aber nicht bestimmt diverent.
Beispiel 20. Haben folgende Mengen ein Supremum bzw. ein Infimum in Q und/oder
in R? Wenn ja, welches?
\ 1 (1)
− , 1 ∪ {k ∈ N | k ≥ n}
(2) {q ∈ Q | q 2 > 2}
n
n∈N
Beispiel 21. Es sei A ⊂ R nicht leer, nach unten beschränkt und −A = {−x | x ∈ A}.
Zeigen Sie:
inf A = − sup(−A).