Mathematik für Chemiker I · WS 2006/07

Mathematik für Chemiker I · WS 2006/07
8. Übungsblatt: 15. Dezember 2006
Aufgabe 1:
Welche der folgenden Folgen (an ) sind konvergent und wie lautet gegebenenfalls ihr Grenzwert:
9n − 6
3n3 + 4n
(i) an =
, (ii) an =
,
2 − 3n
(n + 1)3 − 2n + 1
(iii) an = (−1)n +
3
,
n
(iv) an = (−1)n
2(n + 1)2
.
3n3 − 1
Aufgabe 2:
Gegeben sind sechs Zahlenfolgen (an ):
(i) an =
(iv) an =
n+1
,
n2
n2 + 1
,
2n + 3
p
n + (−1)n
, (iii) an = 1 + n2 ,
n
r
n2 − 1 1
1
(v) an = 2 − , (vi) an = 2
·√ .
n
n +1
n
(ii) an =
Entscheiden Sie jeweils, ob die Folge konvergent oder divergent ist. Ermitteln Sie bei den
konvergenten Folgen auch den Grenzwert.
Aufgabe 3:
Die Vorschriften
1
(i) an+1 = (1 + an ),
2
1
(ii) an+1 = (1 + a2n ),
2
(iii) an+1 =
2
,
an
(iv) an+1 =
√
an
für n > 1 definieren rekursiv Folgen (an ), sofern jeweils der Wert von a1 bekannt ist.
(a) Ermitteln Sie die möglichen Limites limn→∞ an unter der Annahme, dass die Folgen
konvergieren.
(b) Finden Sie, sofern möglich, für jede der Folgen einen Startwert a1 > 0 (wobei a1 nicht
schon der Grenzwert sein soll), so dass die Folge tatsächlich konvergiert.
(c) Finden Sie, sofern möglich, je einen Startwert a1 > 0, so dass die entsprechende Folge
nicht konvergiert.
Aufgabe 4:
Eine Folge (an ) heißt bestimmt divergent gegen +∞ falls gilt: Zu jeder positiven Zahl M > 0
kann man ein n0 angeben, so dass alle Folgenglieder an mit Index n ≥ n0 größer sind als
M.
Begründen Sie anhand der Definition der Konvergenz: Wenn (an ) eine Folge positiver Zahlen
ist, die bestimmt gegen +∞ konvergiert, dann ist die Folge (bn ) mit bn = a1n eine Nullfolge.
Prof. Dr. A. Jüngel · Dipl.Ing. R. Griesmaier
Institut
für
Mathematik,
Johannes
Gutenberg-Universität
Mainz,
http://numerik.mathematik.uni-mainz.de/MatChemIWS06
D-55099
Mainz