technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , M ICHAEL P R ÄHOFER
Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2004)
— Aufgabenblatt 6 (27. Mai 2004) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 33. Grenzwertvariationen.
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Die reelle Zahl a ∈ R heisst Grenzwert der Folge (an )n∈N genau dann, wenn
∃ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n ≥ Nε |a − an | ≤ ε
∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n ≥ Nε |a − an | ≤ ε
∀ε > 0 ∃Nε ∈ N ∀n ≤ Nε |a − an | ≥ ε
∀m ∈ N ∃ε > 0 ∀n ≥ m |a − an | ≤ ε
∀n ∈ N ∃ε > 0 ∀N ≥ ε |a − aN | ≤ n1
Aufgabe 34. Grenzwerte, die Dritte.
1.) Gegeben sei eine reelle Zahl a ∈ R. Für welches q ∈ R konvergiert die Reihe
∞
P
q n gegen diese Zahl a?
n=0
2.) Weisen Sie nach, dass die Reihe
Hinweis: Es gilt
1
n(n+1)
=
1
n
−
∞
P
1
n(n+1)
konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
n=1
1
n+1 .
Aufgabe 35. Der Grenzwertsatz von C AUCHY.
Es sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen, die gegen den Grenzwert 0 konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch die Folge
a1 + a2 + · · · + an
n
n∈N
konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
— Hausaufgaben —
Aufgabe 36. Grenzwerte, die Vierte.
Die untenstehenden Folgen und Reihen sind konvergent. Begründen Sie, warum, und bestimmen Sie ihre Grenzwerte
für n → ∞. In Aufgabenteil a.) sei p ∈ N eine beliebige, aber fest gewählte natürliche Zahl.
a.)
1+
1
n
p
,
b.)
1+
1
2
+ ··· +
n
1
n
,
c.)
∞
X
n=0
(−1)n
4n + 2
,
5n
d.)
∞
X
1
,
n(n
+
1)(n
+ 2)
n=1
Aufgabe 37. Polynomielles Drunter und Drüber.
Gegeben seien die Polynome
p(X) = aN X N + aN −1 X N −1 + · · · + a1 X + a0 ,
q(X) = bM X M + bM −1 X M −1 + · · · + b1 X + b0 ∈ R[X],
mit aN , bM 6= 0. Für alle Zahlen n ∈ N gelte q(n) 6= 0. Diskutieren Sie das Verhalten der Folge
p(n)
q(n)
n∈N
.
Wann konvergiert sie? Welchen Grenzwert besitzt sie in diesem Fall? Wann und wie divergiert sie?
Hinweis: Unterscheiden Sie die drei Fälle N = M , N < M , N > M . Beweisen Sie die ersten beiden Fälle streng
formal, argumentieren Sie im letzten Fall anschaulich.
Aufgabe 38. ONE-TWO-THREE.
11
Für x ∈ R sei bxc die größte ganze Zahl ≤ x (z.B. b 11
10 c = 1, b− 10 c = −2).
Sei θ0 ∈ R\Z, θ0 > 0. Wir betrachten folgende rekursive Vorschrift:
1
θ1 =
θ0 − bθ0 c
1
θ2 =
.. θ1 − bθ1 c
.
1
θi+1 =
θ
−
bθi c
i
..
.
solange θi ∈
/ Z. Falls es ein n ∈ N gibt, mit θn ∈ Z, so bleiben die θi mit i > n undefiniert.
Sei nun ai = bθi c, i = 0, 1, 2, . . ., i ≤ n, falls θn ∈ Z. Dann gilt für alle i ∈ N, (i ≤ n),
1
θ0 = a0 +
1
a1 +
a2 +
1
a3 + .
.. +
ai−1 +
1
θi
Notation: [a0 , a1 , a2 , . . .], ai ∈ Z, heißt Kettenbruchentwicklung von θ0 (“expansion of θ0 in a continued fraction”).
Sie kann endlich ([a0 , a1 , . . . , an ] für ein n ∈ N), periodisch ([a0 , a1 , . . . , ak , b0 , b1 , . . . , bl , b0 , b1 , . . . , bl , . . .] für ein
k ∈ N und ein l ∈ N \ {0}) oder unendlich und nicht periodisch ([a0 , a1 , a2 , . . . , ]) sein.
Berechnen Sie (z.B. mit einem Taschenrechner) die Kettenbruchentwicklungen der Zahlen
√
√
1
6
b.) (1 + 5),
c.) 3,
d.) e,
e.) π.
a.) ,
7
2
... und nun anders herum:
Lucky Luke ist nie überfordert: Selbst beim Tanzen denkt er über schwierige mathematische Probleme nach. Welche
Zahl beschreibt der periodische Kettenbruch [1, 2, 3, 1, 2, 3, . . .]?
Abgabe der Hausaufgaben:
Montag, 7. Juni 2003, bis 12:15 in den Briefkästen im Untergeschoß.