Analysis 1 für Physik - Höhere Mathematik an der TUM
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Zentrum Mathematik Technische Universität München Prof. Dr. D. Castrigiano Dr. H.-P. Kruse Blatt 7 Analysis 1 für Physik WS 09/10 Analysis 1 für Physik Zentralübungen Z1. Sei a ∈ R+ und s ∈ Q. Untersuchen Sie, ob die Folge (an )n∈N mit an := an − ns an + ns konvergiert und berechnen Sie gegebenfalls den Grenzwert. Z2. Einer Folge (an )n∈N ordne man die Folge (sn )n∈N zu, wobei sn := 1 (a1 + · · · an ) für n ∈ N n a) Zeigen Sie, daß aus limn→∞ an = a folgt, daß auch limn→∞ sn = a. b) Geben Sie eine divergente Folge (an )n∈N an, für die (sn )n∈N konvergiert. Z3. Sei (an )n∈N eine reelle Nullfolge mit an = 0 für höchstens endlich viele n ∈ N. Zeigen Sie, daß √ 1 1 + an − 1 ≃ an für n → ∞ 2 Z4. Seien c, d ∈ R+ . Wir definieren die Folge (an )n∈N0 rekursiv durch a0 := d 1 c an+1 := an + 2 an Zeigen Sie, daß limn→∞ = d unabhängig.) √ für n ∈ N0 c. (Insbesondere ist der Grenzwert der Folge vom Anfangswert Z5. Seien ai ≥ 0 für i ∈ N, c ≥ 0 und ai ≤ c für alle i ∈ N. Die Folge (bn )n∈N sei definiert durch v u n uX n ani bn := t i=1 für n ∈ N. Untersuchen Sie, ob die Folge (bn )n∈N konvergiert und berechnen Sie gegebenfalls den Grenzwert. Bitte wenden! Hausaufgaben H1. Untersuchen Sie die Folge (an )n∈N auf Konvergenz bzw. Divergenz und berechnen Sie gegebenfalls den Grenzwert, wobei an gegeben sei durch p √ √ p √ 3+4i n 3+4i n 3+4i n 2 + n−n a) (n+3)(2n−1) b) c) d) e) n f) n + n− n − n 2 n −5 4 5 6 −n Q g) 2n 2 h) nk=2 1 − k12 n Hinweis: Zeigen Sie bei g) zunächst, daß an+1 = 2n+1 a n+1 n und bei h), daß an = n+1 . 2n √ H2. Seien a, b ≥ 0 und für n ∈ N sei an = an + bn . Untersuchen Sie ob die Folge (an )n∈N konvergiert und berechnen Sie gegebenfalls den Grenzwert. H3. Sei P ein Polynom vom Grad k mit Leitkoeffizient a. a) Zeigen Sie, daß P (n) ≃ ank für n → ∞ b) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (an )n∈N , wobei an = p n |P (n)|. H4. Die Folge (an )n∈N0 reeller Zahlen sei wie in Aufgabe H3. von Blatt 1 rekursiv definiert durch a0 = 2 an = 3 4 − an−1 für n ≥ 1 Zeigen Sie, daß die Folge konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.
