Aufgabenblatt 1: Analysis @030ab6d - Institut für Mathematik

Analysis
MA S430
Aufgabenblatt 1
Herbstsemester 2015
Aufgabenblatt 1
40 Punkte
Aufgabe 1 (Verständnis: Definition des Grenzwertes)
Sei (an )n∈N0 eine Folge in R. Wie in der Vorlesung gesehen (Definition 1.5, s.4), sagen wir
Die Folge (an )n∈N0 konvergiert gegen a ∈ R für n gegen unendlich genau dann wenn
für jedes ϵ > 0 eine Zahl nϵ existiert, sodass ∣an − a∣ < ϵ für alle n ⩾ nϵ gilt.
Wir schreiben dafür:
lim an = a
n→∞
Behandeln Sie nun mit Worten, Skizzen und Beispielen die folgenden Fragen:
a) Was ist anschaulich die Bedeutung des Ausdruckes ∣an − a∣?
b) Was bedeutet somit die Bedingung ∣an − a∣ < ε?
c) Was bedeutet somit die Aussage
Wenn n ⩾ nϵ gilt ∣an − a∣ < ε?
d) Und was bedeutet also anschaulich die Definition:
Für jedes ϵ > 0 existiert eine Zahl nϵ , sodass ∣an − a∣ < ϵ für alle n ⩾ nϵ ?
0
Aufgabe 2 (Beispiel: Berechnen des Grenzwertes)
Gegeben sind die (konvergenten) Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N und (cn )n∈N .
a) an ∶=
2n+1
n
b) bn ∶=
c) cn ∶=
5n−30
6n2 +1
√
n2 + 1 − n
Gehen Sie nach Beispiel 1.6, s.5 vor, das heisst
(i) Berechnen Sie die Werte einiger Folgenglieder,
(ii) Stellen Sie eine Vermutung für den Grenzwert auf,
(iii) Zeigen Sie nun, dass die Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N und (cn )n∈N konvergieren, indem Sie zeigen, dass die
Bedingungen der Definition der Konvergenz (vgl. oben) erfüllt sind.
6
Aufgabe 3 (Beispiel: Epsilon muss variabel sein)
n+5
.
Betrachten Sie die Folge (an ) mit an = 999n−100
a) Zeigen Sie, dass für ϵ = 10−3 gilt: ∣an −
1
∣ < ϵ für alle n ⩾ 6.
1000
b) Ist damit gezeigt, dass die Folge (an ) gegen
1
1000
konvergiert? Begründen Sie Ihre Antwort.
c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (an ) mit Hilfe von Satz 1.9.
6
Aufgabe 4 (Beispiel: Berechnen des Grenzwertes)
Gegeben sind die (konvergenten) Folgen (dn )n∈N , (en )n∈N und (fn )n∈N .
UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 16. Oktober 2015, 8:00
Analysis
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a) dn ∶=
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b) en ∶=
15n+3
27n+1036
√
c) fn ∶= 4n ⋅ ( 4n2 + 2 − 2n)
28n+17
32n2 −100
Die Sätze 1.8 und 1.9, s.8 geben uns eine einfachere Möglichkeit Grenzwerte von Folgen zu bestimmen, als die
Methode in Aufgabe 2. Die Idee ist, dass wir eine gegebene Folge als Summe, Produkt, Quotient, etc von anderen
Folgen ansehen, deren Grenzwert wir einfach berechnen können.
(i) Formen Sie die gegebenen Folgen um, so dass sie aus zwei konvergenten Folgen besteht.
(ii) Berechnen Sie den Grenzwert dieser neuen Folgen.
(iii) Berechnen Sie nun damit den gesuchten Grenzwert, und zitieren sie den verwendeten Satz.
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Aufgabe 5 (Beispiel: Beweis der Monotonie einer Folge)
Sei (an )n∈N0 eine Folge in R. Wie in der Vorlesung gesehen (Definition 1.15, s.11) sagen wir:
Die Folge (an )n∈N0 ist monoton wachsend genau dann wenn:
Für jedes n ≥ 0 gilt an+1 ≥ an .
Die Folge an ist monoton fallend genau dann wenn:
Für jedes n ≥ 0 gilt an+1 ≤ an .
Sie heisst streng monoton fallend/wachsend wenn zusätzlich alle Folgenglieder verschieden sind.
Gegeben sind die Folgen (gn )n∈N und (hn )n∈N .
a) gn ∶=
b) hn ∶=
5n−1
5n
√ 1
n2 +1
Zeigen Sie, dass diese Folgen monoton sind.
4
Aufgabe 6 (Beispiel: Beschränktheit)
Gegeben sind die Folgen (in )n∈N0 , (jn )n∈N0 und (kn )n∈N0
a) in ∶= sin(n)
b) jn ∶=
c) kn ∶=
n
n+1
√
n2 + 2 −
√
n2 + 1
Zeigen Sie, dass die obigen Folgen beschränkt sind, und geben Sie jeweils eine untere und eine obere Schranke
an, also zwei Zahlen U, O ∈ R, so dass gilt U ≤ xn ≤ O für jedes n.
Aufgabe 7 (Divergenz der harmonischen Reihe)
Lesen Sie den Text zur Divergenz der harmonischen Reihe im Dokument ’Der Zahlenteufel’. [Aus: Hans Magnus
Enzensberger, Der Zahlenteufel: Ein Kopfkissenbuch für alle, die Angst vor der Mathematik haben, Deutscher
Taschenbuchverlag, München 2007.]
Damit Sie den Text einordnen können, gebe ich Ihnen eine Kurzbeschreibung dieses Buches, das ich als Lektüre
sehr empfehle:
Robert, neben dem Zahlenteufel die Hauptfigur des Buches, hat das Träumen satt. Weil ihm die unheimlichsten
Dinge im Traum passieren, beschliesst er, dass er nicht mehr träumen will. Doch da hat er die Rechnung ohne
den Zahlenteufel gemacht! Plötzlich ist er da, wirbelt mit seinem geheimnisvollen Stock herum und zaubert aus
ihm ganze Zahlenfolgen. In zwölf Nächten erzählt der Zahlenteufel Robert im Traum von hopsenden Zahlen,
dass es auch eingebildete Zahlen gibt und dass die harmonische Reihe nicht konvergiert...
UZH Institut für Mathematik, Dr. C. Albertini
Abgabe 16. Oktober 2015, 8:00
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a) Wie gross muss n mindestens sein, damit nach der Abschätzung im Zahlenteufel die harmonische Reihe
grösser als 10 wird?
b) Und wie gross muss n gewählt werden, damit nach dieser Abschätzung die harmonische Reihe (wie im
Text erwähnt) grösser als 1000 ist?
n
1
> 2 gilt?
k
k=2
c) Wie gross ist das kleinste n, so dass ∑
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Abgabe 16. Oktober 2015, 8:00