Definition: Eine Folge ist eine Funktion a : N → R. Eine Folge kann

Folgen:
Definition: Eine Folge ist eine Funktion a : N → R.
Eine Folge kann auch als Aneinderreihung von durchnummerierten Zahlen interpretiert werden.
Festlegen von Folgen:
• Angabe aller Folgenglieder:
Funktioniert nur für endliche Folgen!
z.B.:
• Expliziter Term:
z.B.:
• Rekursiv:
z.B.:
Spezielle Folgen:
Arithmetische Folge: Eine Folge (an)∞
n=0 heißt arithmetisch, wenn es reelle Zahlen a0 und d gibt, sodass
gilt:
an = a0 + n · d
∀n∈N
oder rekursiv:
an+1 = an + d
∀n∈N
Bei arithmetischen Folgen ist die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder stets konstant.
D.h.:
z.B.:
an+1 − an = d . . . const.
∀n∈N
Geometrische Folge:
Eine Folge (an)∞
n=0 heißt geometrisch, wenn es reelle
Zahlen a0 und q gibt, sodass gilt:
an = a0 · q n
∀n∈N
oder rekursiv:
an+1 = an · q
∀n∈N
Bei geometrischen Folgen ist der Quotient zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder stets konstant.
D.h.:
z.B.:
an+1
= q . . . const.
an
∀n∈N
Monotonie:
Eine Folge (an)∞
n=0 heißt monoton wachsend, wenn
gilt:
an+1 ≥ an
∀n∈N
Eine Folge (an)∞
n=0 heißt monoton fallend, wenn gilt:
an+1 ≤ an
∀n∈N
Eine Folge (an)∞
n=0 heißt streng monoton wachsend,
wenn gilt:
an+1 > an
∀n∈N
Eine Folge (an)∞
n=0 heißt streng monoton fallend,
wenn gilt:
an+1 < an
∀n∈N
Grenzwert
Grenzwert einer Folge: Die Zahl a heißt Grenzwert
(Limes) der Folge (an)∞
n=0 , falls für alle ε > 0 eine
Zahl N0 ∈ N existiert, sodass gilt:
|an − a| < ε
∀n ≥ N0(ε)
Man schreibt: lim an = a
n→∞
- Folgen, die einen Grenzwert haben, heißen konvergent.
- Folgen, die keinen Grenzwert haben heißen divergent.
Nullfolge: Eine Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge.
Reihen:
Definition: Unter der zur Folge (an)∞
n=0 gehörenden Reihe versteht man die Folge der Partialsummen (sn)∞
n=0 :
s0 = 0
s1 = a0
s2 = a0 + a1
s3 = a0 + a1 + a2
..
sn = a0 + a1 + . . . + an−1 =
n−1
X
i=0
ai
Spezielle Reihen:
Arithmetische Reihe: Ist (an)∞
n=0 eine arithmetische
Folge, dann gilt:
X̀
n=k
`−k+1
an =
(ak + a`)
2
oder
X̀
n=k
`−k+1
(a0 + n · d) =
[2a0 + (k + `) · d]
2
Geometrische Reihe: Ist (an)∞
n=0 eine geometrische
Folge, dann gilt:
X̀
n=k
1 − q `−k+1
an = ak ·
1−q
oder
X̀
n=k
1 − q `−k+1
a0 · q = a0 · q ·
1−q
n
k
Falls |q| < 1 ist, dann gilt:
∞
X
a0
a0 · q =
1−q
n=0
n
. . . unendliche geometrische Reihe