Ausführliche Lösungen zu Folgen und Reihen 1. a) Quadratzahlen

Ausführliche Lösungen zu Folg en und Reihen
1.
a) Quadratzahlen: …, 25, 36, 49, ...
b) Abstand nimmt immer um 1 zu: …, 21, 28, 36, …
c) Zähler und Nenner separat betrachten: …, 5/6, 6/7, 7/8, …
d) Nenner ist eine 2-er Potenz, Faktor ist 1/2: …, 1/32, 1/64, 1/128, …
e) alternierende Folge, Faktor ist -1: …, -1, 1, -1, …
f) natürliche Zahlen im 2-er System (binäres System)
1=
1 . 20
1
. 1
2=
1 2 + 0 . 20
10
3=
1 . 21 + 1 . 20
11
4=
1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20
100
5=
1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20
101
6=
1 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20
110
7=
1 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20
111
8=
1 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20
1000
9=
1 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20
1001
10=
1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20
1010
g) n, falls n ungerade ist; bei den geraden immer Eins weniger: …, 2, 9, 1, …
h) Primzahlen: …, 17, 19, 23, …
1.2 Die Folgennummern werden mit n bezeichnet und die Werte der Folgenglieder mit a n .
a) an = n 2
b) schwierig: an = n(n+1)/2
c) an = n / (n+1)
d) an = 1 / 2 n
e) an = (-1) n
f) an = 2 n (d.h. n im 2-er System wie oben)
g)schwierig:
2.
2.1
2.2
a) 3, 11, 19, 27, 35, 43
b) 5, 9, 13, 17, 21, 25
c) 5.5, 4, 2.5, 1, -0.5, -2
d) 5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, 13
a5 + 7d = a12 
a1 = a5 – 4d = 9.9
= 4.5
2.3
Mit dieser Formel lässt sich nun eine von 4 Grössen berechnen, wenn die anderen 3
bekannt sind.
3.
3.1
a) 7, 14, 28, 56, 112
b) -6, -3, -1.5, -0.75, -0.375
c) -0.75, 1.5, -3, 6, -12
d) -20, 10, -5, 2.5, -1.25
3.2
a 3 . q2 = a 5 
30.72
2 Lösungen
für beide q (nur die geradzahligen Folgenglieder unterscheiden sich im
Vorzeichen!)
3.3
a)
 …, 3, ,
b)
 …, ,
,
c)
 …,
, 4,
d)
 …, b2 ,
,
Wie in der Aufgabe 2.3 für arithmetische Folgen lässt sich auch für geometrische Folgen
eine Formel finden:
Mit dieser Formel lässt sich nun eine von 4 Grössen berechnen, wenn die anderen 3
bekannt sind.
3.4
a) Seitenlänge des grossen Quadrats (1. Generation) ist a1 = 1. Wir berechnen die
Seitenlänge des 2. Quadrates (2. Generation). Nach dem Satz von Pythagoras gilt:
=
Möchte man z.B. die Seitenlänge des 100. Quadrates berechnen, dann benutzt man die
Formel in 3.3:
3.4
b) Nun ist aber das 1. Folgenglied die Fläche des schwarzen Dreiecks rechts oben. Die
Seitenlänge des grossen Quadrates sei wieder gleich 1.
Die Fläche des nächsten schwarzen Dreiecks kann entweder wieder berechnet werden oder
man erkennt, dass dieses wegen der Symmetrie gerade halb so gross ist sie das erste!
Der Faktor q ist also ½ !
Und somit kennt man die Folge aller Flächen:
Zum Beispiel hat das hundertste schwarze Dreieck den Flächeninhalt:
4.
4.1
a) 20, 16, 12, 8, 4
arithmetische Folge
b) 1, 3, 9, 27, 81
geometrische Folge
c) 1, 5, 13, 29, 61
d) 0, 1/6, 4/15, 1/3, 8/21 Aufpassen! an , a n+1 sind Folgegliedwerte und n die
Gliednummer!
e) 1,1,2,3,5
Jedes Folgenglied ist die Summe der beiden vorhergehenden!
Diese Folge heisst Fibonacci-Folge!
4.2
arithmetische Folge
Rekursive Darstellung:
Folgenglied)
Explizite Darstellung:
(ausgehend vom vorhergehenden
(ausgehend von a1 )
geometrische Folge
Rekursive Darstellung:
Explizite Darstellung:
6.
6.1
ungerade Zahlen:
n
1
2
an
1,
3,
(ausgehend vom vorhergehenden Folgenglied)
(ausgehend von a1 )
3
5,
4
7,
…. ,
n
2n-1
Gliednummer
Wert des Folgenglieds
Es ist eine arithmetische Folge mit a1 = 1 und d = 2, das n-te Folgenglied ist a n =2n-1
Formel für die Summe der ersten n Folgenglieder:
Zusammenzählen des ersten und letzten Folgenglieds und multiplizieren mit ! Die
Anzahl n könnte beispielsweise aus
ermittelt werden.
Die Summe der ungeraden Zahlen ist immer eine Quadratzahl!
6.2
Kombinieren der beiden Formeln
und
6.3
arithmetische Folge mit d = 7.
Erste dreistellige Zahl ist ≥ 100: 100/7 = 14.3; also a1 = 7 . 15 = 105
Letzte dreistellige Zahl ist ≤ 999: 999/7 = 142.7; also an = 7 . 142 = 994
 n = 128 Folgenglieder
6.4
Wir haben 2 Angaben, also lassen sich 2 Unbekannte ausrechnen, z.B. a 1 und d in
(siehe bei 6.2)
Einsetzen der Summen:
n = 5:
(I)
n = 15:
(II)
TI: solve(I and II, a1)
43 ; d = -5
6.5
7.
7.1
Die Uhr schlägt 2 mal von 1 bis 12! Zu berechnen ist
2 . (1+2+3+…. + 12) = 2 + 4 + 6 + …… 24 mit a 1 = 1, d = 1 und n = 12
10, 5, 2.5, 1.25, ….
Geometrische Folge mit a1 = 10 und q = ½
Turm mit n Würfeln:
Turm mit 5 Würfeln:
Turm mit 10 Würfeln:
cm
cm
Zusatzaufgabe:
Wie hoch wird der Turm, wenn man unendlich viele Würfel aufeinander türmt?
n→∞
Die Schreibweise wird später verbessert!
So ist es nicht ganz sauber!
Für -1 < q < 1 ist
Also wird
oder
cm
7.2
a)
→
b) Für die Summenformel brauchen wir q!

c)
Auflösen nach n mit Logarithmus
)
| ln
7.3
a1 , a 2 , a3 , a 4
a1 + a2 = 48
a3 + a4 = 12
(I)
(II)
ausdrücken mit a1 und q:
a 1,
a2 = a1 q ;
a 3 = a 1 q2 ;
a 4 = a 1 q3
einsetzen in (I) und (II)
a1 + a1 q
= 48
a1 q2 + a1 q3 = 12
TI: solve(I and II, {a1,q})
→ 2 Lösungen:
7.4
(I)
(II)
a1
a2
a3
a4
= 32 ; q = ½
= 16
=8
=4
Diese Aufgabe bezieht sich auf das Bild in 3.4
oder
a1 = 96 ; q = - ½
a2 = -48
a3 = 24
a4 = -12
Die Folge der schwarzen Dreiecke konnte mit
d.h. mit a 1 =
beschrieben werden,
und q = .
Fläche mit n Dreiecken:
cm2
Fläche mit 5 Dreiecken:
cm 2
Fläche mit 10 Dreiecken:
Zusatzaufgabe:
Wie gross ist die Fläche der ganzen schwarzen Spirale für n → ∞? (Wie in Aufg. 7.1)
cm2 =
cm 2