Formeln und Aufgaben über arithmetische und geometrische Reihen

Formeln und Aufgaben über
arithmetische und geometrische
Reihen
Dietrich Baumgarten
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17. Januar 2014
Inhaltsverzeichnis
1 Arithmetische und geometrische Folgen
1.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .
1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Arithmetische Folgen und Reihen
1.2.2 Geometrische Folgen und Reihen
1.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
1
1
2
2
3
iii
1 Arithmetische und geometrische
Folgen
1.1 Zusammenfassung
1. Bei einer arithmetischen Folge ist die Dierenz d zweier aufeinander folgenden
Glieder konstant. Es gilt also:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
bk = bk−1 + d,
bk = b1 + (k − 1) d,
bk = bi + (k − i)d.
Die Summe einer arithmetischen Folge mit n Gliedern ist das arithmetische Mittel
des ersten und des letzten Elements multipliziert mit der Anzahl der Folgenglieder.
n
X
bk = b1 + b2 + · · · + bn = n
b1 + b n
,
2
(1.4)
bk = b1 + b2 + · · · + bn = n
2b1 + (n − 1) d
.
2
(1.5)
k=1
n
X
k=1
2. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient q zweier aufeinander folgenden
Glieder konstant. Es gilt also:
(1.6)
(1.7)
(1.8)
bk = qbk−1 ,
bk = b1 q k−1 ,
bk = bi q k−i .
Die Summe einer goemetrischen Folge mit n Gliedern ist
n
X
bk = b1 + b2 + · · · + bn = b1
k=1
qn − 1
.
q−1
(1.9)
1.2 Beispiele
1.2.1 Arithmetische Folgen und Reihen
Die Folge < 1, 3, 5, 7, · · · , 23 > ist arithmetisch mit b1 = 1 und b12 = 23 sowie d = 2.
Weiter gilt 1 + 3 + 5 + · · · + 23 = 12 · (1 + 23)/2 = 144.
1
1 Arithmetische und geometrische Folgen
Die Folge < 1, −1, −3, −5, · · · , −17 > ist arithmetisch mit b1 = 1 und b10 = −17
sowie d = −2. Weiter gilt 1 − 1 − 3 − 5 − · · · − 17 = 10 · (1 − 17)/2 = −80.
Ein Arbeitnehmer hat in seinem Berufsleben jedes Jahr 10.000 Euro mehr als im
Vorjahr verdient. Sein Anfangsgehalt war 30.000 Euro, sein Gesamtverdienst 5.250.000
Euro. Wieviel Jahre hat er gearbeitet?
Sn = 5.250.000 = n · (30.000 + 30.000 + (n − 1)10.000)/2
5.250 = n(30 + (n − 1)5), 5n2 + 25n − 5.250 = 0, n2 + 5n − 1.050 = 0,
n = 30.
Nun ein nanzmathematisches Beispiel. Jemand legt Ende März bis Ende Dezember
einschlieÿlich 200 Euro auf ein Sparkonto ein. Wie hoch ist der Endbetrag am 31.12 bei
einem Zinssatz von 4 Prozent. Die Zinsmethode sei 30E/360, der einzige Zinstermin am
Jahresende.
Hier liegen zehn Zahlungen vor. Die Märzzahlung verzinst sich bis zum Jahresende
bei einfacher Verzinsung von 200 Euro auf b1 = 200(1 + 0, 04 · 9/12) = 206 Euro,
die Aprilzahlung auf b2 = 200(1 + 0, 04 · 8/12) usw. Die letzte Zahlung b10 = 200 am
Jahresende bleibt unverzinst. Die Zahlungsfolge ist arithmetisch mit d = 0, 04/12. Nach
Formel (1.4) ist der Endbetrag die folgende arithmetische Summe:
b1 + b2 + · · · + b10 = 10
b1 + b10
= 5(206 + 200) = 2.030 Euro
2
1.2.2 Geometrische Folgen und Reihen
Die Folge < 2, 4, 8, · · · , 1024 > ist geometrisch mit b1 = 2 und b10 = 1024 sowie q = 2.
Weiter gilt 2 + 4 + 8 + · · · + 1024 = 2 · (210 − 1)/(2 − 1) = 2046.
Die Folge < 1/2, 1/4, 1/8, · · · , 1/1024 > ist geometrisch mit b1 = 1/2 und b10 = 1/1024
sowie q = 1/2. Weiter gilt 1/2 + 1/4 + 1/8 + · · · + 1/1024 = 1/2 · ((1/2)10 − 1)/(1/2 − 1) =
0, 999023438.
Ein Arbeitnehmer hat in seinem Berufsleben jedes Jahr 5 Prozent mehr als im Vorjahr
verdient. Sein Anfangsgehalt war 30.000 Euro, sein Gesamtverdienst 991.978,62 Euro.
Wieviel Jahre hat er gearbeitet?
Sn = 991.978, 62 = 30.000 · (1, 05n − 1)/(1, 05 − 1)
991.978, 62 · 0, 05/30.000 + 1 = 1, 05n
n = ln(991.978, 62 · 0, 05/30.000 + 1)/ ln(1, 05) = 20
1.3 Aufgaben
Aufgabe 1.
Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der arithmetischen Folgen:
a) b1 = 3, d = 2
b) b1 = −3, d = −2.
2
1.4 Lösungen
Von den beiden arithmetischen Folgen sind jeweils zwei Elemente bekannt.
Bestimmen Sie b1 und d.
a) b3 = 7, b7 = 3
b) b5 = 9, b9 = 17.
Aufgabe 2.
Aufgabe 3.
1.000.
Berechne die Summe aller durch sechs teilbaren Zahlen zwischen 1 und
Berechnen Sie die Summe aller dreizirigen natürlichen Zahlen, die durch
3 dividiert den Rest 1 bzw. den Rest 2 haben.
Aufgabe 4.
Aufgabe 5.
Die Folgen seien arithmetisch. Bestimmen Sie die fehlenden Gröÿen.
a)
b)
c)
d)
b1
-67
10
1
50
bn
20
-6
35
10
n
30
9
18
21
d
3
-2
2
-2
e)
f)
g)
h)
b1
1
10
4
-3
Sn n d
-99 11 -2
18 9 -2
54 6 2
-63 7 -2
Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der geometrischen Folgen:
a) b1 = 3, q = 1, 2.
b) b1 = 1, q = 0, 8
Aufgabe 6.
Von einer geometrischen Reihe kennt man b1 = 9 und q = 2. Berechnen
Sie für die zugehörige geometrische Reihe die Summen der ersten 10 bzw. der ersten 100
Glieder.
Aufgabe 7.
Ein Betrag von ÖS 4840,- soll so auf 5 Personen aufgeteilt werden, dass die
erste einen Teil und jede folgende dreimal so viel erhält wie die vorhergehende. Wieviel
bekommt jede Person?
Aufgabe 8.
Aufgabe 9.
Die Folgen seien geometrisch. Bestimmen Sie die fehlenden Gröÿen.
b1 bn n q
a) 14 10206 7 3
b) 10 2560 9 -2
c) 5
320 7 2
d) 3
384 8 2
e)
f)
g)
h)
b1 Sn n
2 682 5
2 728 6
4 1020 8
3 1023 5
q
4
3
2
4
1.4 Lösungen
Aufgabe 1. Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der arithmetischen Folgen:
a) b1 = 3, d = 2
b) b1 = −3, d = −2.
a) b1 = 3, b2 = 5, b3 = 7, b4 = 9 und b5 = 11.
b) b1 = −3, b2 = −5, b3 = −7, b4 = −9 und b5 = −11
3
1 Arithmetische und geometrische Folgen
Von den beiden arithmetischen Folgen sind jeweils zwei Elemente bekannt.
Bestimmen Sie b1 und d.
a) b3 = 7, b7 = 3
Hier gilt b7 = 3 = b3 + (7 − 3)d = 7 + 4d, also ist d = −1. Wegen b3 = 7 = b1 + (3 − 1)d =
b1 − 2 ist b1 = 9.
b) b5 = 9, b9 = 17.
Hier gilt b9 = 17 = b5 + (9 − 5)d = 9 + 4d, also ist d = 2. Wegen b5 = 9 = b1 + (5 − 1)d =
b1 + 8 ist b1 = 1.
Aufgabe 2.
Aufgabe 3.
1.000.
Berechne die Summe aller durch sechs teilbaren Zahlen zwischen 1 und
Man rechnet leicht nach, dass 996 die gröÿte ganze Zahl kleiner als 1.000 ist. Teilt man
996 durch 6, ergibt sich n = 166 und damit
s166 = 166
6 + 996
= 83.166.
2
Berechnen Sie die Summe aller dreizirigen natürlichen Zahlen, die durch
3 dividiert den Rest 1 bzw. den Rest 2 haben.
Die erste dreizirige Zahl mit Rest 1 bei Teilung durch 3 ist 100, die letzte 997. Die
Zahlenfolge ist aritmetisch mit d = 3 und b1 = 100 sowie bn = 997. Der Index n
ergibt sich aus 997 = 100 + (n − 1)3, also n = 300. Damit ist die gesuchte Summe
300 · (100 + 997)/2 = 164.550.
Die erste dreizirige Zahl mit Rest 2 bei Teilung durch 3 ist 101, die letzte 998. Auch
das sind 300 Folgenglieder, deren Werte alle um 1 höher sind als die Werte der Folge
von 100 bis 997. Also ist die Summe um 300 gröÿer, hat somit den Wert 164.850
Aufgabe 4.
Die Folgen seien arithmetisch. Bestimmen Sie die fehlenden Gröÿen.
Zu a) b1 = bn − d1 − n = 20 − 29 · 3 = −67.
Zu b) b9 = b1 + 8d = 10 − 8(−2) = −6.
Zu c) bn = b1 + (n − 1)d, n − 1 = (bn − b1 )/d = 34/2, n = 18.
Zu d) bn = b1 + (n − 1)d, (n − 1)d = bn − b1 , d = (bn − b1 )/d = −40/20 = −2.
Zu e) Sn = n(2b1 + (n − 1)d)/2, 2Sn /n = (2b1 + (n − 1)d), b1 = Sn /n − (n − 1)d/2 = 1.
Zu f) Sn = n(2b1 + (n − 1)d)/2 = 9(20 − 18) = 18.
Zu g) Sn = n(2b1 + (n − 1)d)/2, 54 = n(8 + (n − 1)2)/2, 54 = 3n + n2 , n = 6.
Zu h) Sn = n(2b1 + (n − 1)d)/2, −63 = 7(−6 + 6d)/2, d = −2.
Aufgabe 5.
a)
b)
c)
d)
b1
-67
10
1
50
bn
20
-6
35
10
n
30
9
18
21
d
3
-2
2
-2
e)
f)
g)
h)
b1
1
10
4
-3
Sn n d
-99 11 -2
18 9 -2
54 6 2
-63 7 -2
Aufgabe 6. Jemand legt am 1.1, am 1.3, am 1.5 usw. bis zum 1.11 einschlieÿlich 1.000
Euro auf ein Sparkonto ein. Wie hoch ist der Endbetrag am 31.12 bei einem Zinssatz
4
1.4 Lösungen
von 4 Prozent. Die Zinsmethode sei 30E/360, der einzige Zinstermin am Jahresende.
Hier liegen sechs Zahlungen vor. Die Januarzahlung verzinst sich bis zum Jahresende bei
einfacher Verzinsung von 1.000 Euro auf b1 = 1.000(1 + 0, 04 · 12/12) = 1.040 Euro, die
Märzzahlung auf b2 = 1.000(1 + 0, 04 · 10/12) = 1.040 usw. Die letzte Zahlung b6 = 200
am 1.11 verzinst sich auf b6 = 1.000(1 + 0, 04 · 2/12) = 1.040. Die Zahlungsfolge ist
arithmetisch mit d = 0, 04 · 2/12. Nach Formel (1.4) ist der Endbetrag die folgende
arithmetische Summe:
b1 + b 2 + · · · + b 6 = 6
b1 + b6
= 3(1.040 + 1.006, 67) = 6.140 Euro
2
Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der geometrischen Folgen:
a) b1 = 3, q = 1, 2.
b) b1 = 1, q = 0, 8
b1 = 3, b1 = 3, 6, b1 = 4, 32, b1 = 5, 184 und b1 = 6, 2208.
b1 = 1, b1 = 0, 8, b1 = 0, 64, b1 = 0, 512 und b1 = 0, 4096.
Aufgabe 7.
Aufgabe 8. Von einer geometrischen Reihe kennt man b1 = 9 und q = 2. Berechnen
Sie für die zugehörige geometrische Reihe die Summen der ersten 10 bzw. der ersten 100
Glieder. s10 = 9(210 − 1)/(2 − 1) = 9.207 und s100 = 9(2100 − 1)/(2 − 1) = 1, 14089 · 1031 .
Ein Betrag von ÖS 4.840,- soll so auf 5 Personen aufgeteilt werden, dass die
erste einen Teil und jede folgende dreimal so viel erhält wie die vorhergehende. Wieviel
bekommt jede Person?
Aufgabe 9.
S5 = b1
35 − 1
= 121b1 = 4.840,
3−1
b1 = 40
Die erste Person erhält 40 ÖS, die anderen vier 120, 360, 1.080 und 3.240 ÖS.
Die Folgen seien geometrisch. Bestimmen Sie die fehlenden Gröÿen.
Zu a) b1 = bn q = 10.206 · 3−6 = 14.
Zu b) b9 = b1 q 8 = 10 ∗ (−2)8 = 2.560.
Zu c) bn = b1 q n , 320 = 5 · 2n−1 , 64 = 2n−1 , n = 1 + ln(64)/ln(2) = 7.
Zu d) b8 = b1 q 7 , 384 = 3 · q 7 , q = 1281/7 = 2.
Zu e) Sn = b1 (q n − 1)/(q − 1), b1 = Sn (q − 1)/(q n − 1) = 682 ∗ (4 − 1)/(45 − 1) = 2.
Zu f) Sn = b1 (q n − 1)/(q − 1) = 2(36 − 1)/(3 − 1) = 728.
Zu g) Sn = b1 (q n − 1)/(q − 1), 1.020 = 4(2n − 1)), 255 = (2n − 1)), also n = 8.
Zu h) Sn = b1 (q n − 1)/(q − 1), 1.023 = 3(q 5 − 1)/(q − 1), 341 = (q 5 − 1)/(q − 1). Die
Lösung q = 4 muss man leider raten oder von der Zielwertsuche von Excel bestimmen
lassen.
Aufgabe 10.
1−n
b1 bn n q
a) 14 10206 7 3
b) 10 2560 9 -2
c) 5
320 7 2
d) 3
384 8 2
e)
f)
g)
h)
b1 Sn n
2 682 5
2 728 6
4 1020 8
3 1023 5
q
4
3
2
4
5