Folgen und Reihen 1. Folgen

Folgen und Reihen
1. Folgen
Aufgabe
1.1. Sie kennen alle die Intelligenztests, bei welchen man zu einer gegebenen Folge von Zahlen die
nächsten herausfinden soll. Wie lauten die nächsten drei Zahlen bei den folgenden Beispielen?
a) 1, 4, 9, 16, …
b) 1, 3, 6, 10, 15, …
c) 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …
d) 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
e) –1, 1, –1, 1, …
f) 1, 10, 11, 100, 101, 110, …
g) 1, 5, 3, 4, 5 ,3 ,7 , …
h) 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Definition: Eine Zahlenfolge (an) ist eine Zuordnung, bei der jeder natürlichen Zahl n genau eine reelle
Zahl an zugeordnet wird.
Folgen sind also eng mit Funktionen verwandt. Die Hauptunterschied besteht darin, dass bei Folgen die
Definitionsmenge immer die Menge der natürlichen Zahlen ist.
Aufgabe
1.2. Finden Sie die Zuordnungen zu den Beispielen in Aufgabe 1.
Hinweis: Nicht für alle ist es möglich, die Zuordung in Form einer Formel anzugeben.
Lösungen
1.2a) an = n2; b) bn = n(n+1)/2; c) cn = n/(n+1); d) dn = (1/2)n; e) en = (–1)n; f) fn = 2n (n im 2er–System);
g) gn = {n falls n ungerade, 6–n/2 sonst (hier sind auch andere Lösungen denkbar); e) ---.
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2. Arithmetische Zahlenfolgen
Wenn bei einer Zahlenfolge die Differenz d zwischen zwei aufeinander folgenden Zahlen an und an+1
konstant ist, so reden wir von einer arithmetischen Zahlenfolge.
Beispiel: 7, 11, 15, 19, 23, ... ⇒ a1 = 7 und d = 11–7 = 15–11 = ... = 4
Die nächsten Zahlen lauten also 23+4 = 27, 27+4 = 31, ...
Aufgaben
2.1. Bestimmen Sie die ersten sechs Glieder der folgenden arithmetischen Folgen.
a) 3, 11, ...
b) a1 = 5, d = 4
c) a2 = 4, d = –1.5
d) a2 = 7, a6 = 13
2.2. Gegeben sei eine arithmetische Folge durch a5 = 27.9 und a12 = 59.4 Berechnen Sie a1!
2.3. Von einer arithmetischen Folge kennen Sie a1 und d. Stellen Sie eine Formel auf, mit deren Hilfe Sie
ein beliebiges an direkt berechnen können.
3. Geometrische Zahlenfolgen
Wenn bei einer Zahlenfolge der Quotient q von zwei aufeinander folgenden Zahlen an und an+1
konstant ist, so reden wir von einer geometrischen Zahlenfolge. Arithmetische und geometrische
Folgen sind also miteinander verwandt: Einmal ist die Differenz und einmal der Quotient zweier
aufeinander folgender Glieder konstant.
Beispiele: 2, 4, 8, 16, 32, … ⇒ a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = … = 2
Die nächsten Zahlen lauten also 2.32 = 64, 2.64 = 128, …
1, 1/2, 1/4, 1/8, … ⇒ a1 = 1, q = (1/8) / (1/4) = 1/2
Die nächsten Zahlen lauten also 1/8·1/2 = 1/16, 1/16·1/2 = 1/32, …
1, –1, 1, –1, 1, ... ⇒ a1=1, q = 1/(–1) = (–1)/1 = –1
Aufgaben
3.1. Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der folgenden geometrischen Folgen.
a) 7, 14, …
b) a1 = –6, q = 0.5
c) a2 = 1.5, q = –2
d) a2 = 10, a3 = –5
3.2. Gegeben sei eine geometrische Folge durch a3 = 48 und a5 = 75. Berechnen Sie a1!
3.3. Bestimmen Sie die nächsten drei Glieder so, dass eine geometrische Folge entsteht.
a) 12, 6, …
b) 3/4, 1, …
2
d) a , ab, …
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c) √2, 2, …
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3.4. a) Die Seitenlängen der in einander verschachtelten Quadrate bilden eine geometrische Folge.
Überprüfen Sie diese Aussage indem Sie q berechnen!
Hinweis: Nehmen Sie an, das erste Quadrat habe Seitenlänge 1.
b) Auch die Flächeninhalte der ausgefüllten Dreiecke bilden eine geometrische Folge.
Warum?
Lösungen
2.1.a) 3, 11, 19, 27, 35, 43; b) 5, 9, 13, 17, 21, 25; c) 5.5, 4, 2.5, 1, –0.5, –2; d) 5.5, 7, 8.5, 10, 11.5, 13
2.2. a1 = 9.9; 2.3. an = a1+(n–1).d.
3.1.a) 7, 14, 28, 56, 112; b) –6, –3, –1.5, –0.75, –0.375; c) –0.75, 1.5, –3, 6, –12; d) –20, 10, –5, 2.5, –1.25.
3.2. a1 = 30.72, q = 1.25. 3.3.a) 3, 1.5, 0.75; b) 4/3, 16/9, 64/27; c) 2√2, 4, 4√2; d) b2, b3/a, b4/a2.
3.4.a) a1 = 1, q = √2/2; b) a1 = 1, q = 1/2.
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4. Rekursiv definierte Zahlenfolgen
Eine Möglickeit eine Zahlenfolge zu definieren besteht darin, dass wir eine Berechnungsvorschrift für
das n–te Folgeglied an angeben:
Beispiel: an = 2n–1 (Folge der ungeraden Zahlen, arithmetische Folge)
a1 = 1, a2 = 3, a3 = 5, …
Diese Art eine Folge anzugeben, heisst explizite Definition. Eine andere Möglichkeit eine Zahlenfolge
zu definieren, ist die rekursive Definition. Dabei wird das erste Zahlenglied a1 und eine Vorschrift, wie man
von einem Zahlenglied an zum nächsten an+1 kommt, vorgegeben.
Beispiel: a1 = 1, an+1 = an+2 (Folge der ungeraden Zahlen, rekursiv definiert!)
a1 = 1, a2 = a1+2 = 3, a3 = a2+2 = 5, a4 = a3+2 = 7, …
Weiteres Beispiel: a1 = 1, an+1 = an+n
a1 = 1, a2 = a1+1 = 2, a3 = a2+2 = 4, a4 = a3+3 = 7, a5 = a4+4 = 11, …
Während die rekursive Darstellung einer Folge in der Regel einfacher ist als die explizite (manchmal gar
die einzig mögliche), ist sie für die Berechnung viel mühsamer. Für die Bestimmung von a100 müssen bei
einer rekursiven Definition alle hundert Folgeglieder bekannt sein!
Aufgaben
4.1. Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der Folge.
a) a1 = 20, an+1 = an–4
b) a1 = 1, an+1 = 3·an
d) a1 = 0, an+1 = an+ 2/((n+2)(n+3))
c) a1 = 1, an+1 = 2an+3
e) a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an+an+1
4.2. Geben Sie die explizite und die rekursive Definition von arithmetischen und geometrischen Folgen an.
4.3. Die Türme von Hanoi
Sie haben drei Stäbe A, B, C vor sich. Auf Stab A steht ein Turm aus z.B. 5 Holzscheiben. Zu unterst
liegt die grösste Scheibe, zu oberst die kleinste.
Sie sollen nun den Turm von Stab A auf Stab B verschieben, wobei Sie nur eine Scheibe pro Zug
bewegen und nur kleinere Scheiben auf grössere legen dürfen. Stab C kann als Hilfsstab verwendet
werden.
a) Testen Sie das Spiel. Beginnen Sie mit 3 Scheiben.
b) Wie viele Züge benötigen Sie im Idealfall für 1, 2, 3, 4, 5 Scheiben?
c) Finden Sie eine rekursive Formel für die Anzahl Züge.
d) Versuchen Sie zum Schluss auch eine explizite Formel für die Zahl der Züge zu finden!
Lösungen
4.1.a) 20, 16, 12, 8, 4; b) 1, 3, 9, 27, 81; c) 1, 5, 13, 29, 61; d) 0, 1/6, 4/15, 1/3, 8/21; e) 1, 1, 2, 3, 5.
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5. Reihen
Vom Mathematiker Carl Friedrich Gauss wird oft eine Anekdote aus seiner Kindheit erzählt. Schon in
jungen Jahren soll Carl Friedrich sehr schnell im Rechnen gewesen sein, so dass sein Mathematiklehrer
sich genötigt sah, den keinen Sprössling zusätzlich zu beschäftigen. Er gab ihm den Auftrag, die ersten 60
natürlichen Zahlen zusammenzuzählen. Der Lehrer dachte sich, Carl Friedrich sei damit wohl eine Zeitlang
beschäftigt. Aber bereits nach kurzer Zeit hatte dieser das Resultat gefunden.
s60
=
1+2+3+4+…+59+60
=
(1+60)+(2+59)+(3+58)+…+(29+32)+(30+31)
=
30·61
=
1'830
Definition: Sei (an) eine Zahlenfolge. Dann ist die Reihe (sn) definiert als die Folge der Teilsummen von
(an).
s1 = a 1
n
sn
2
s2 = a1+a2
=
∑a
i
= s1+a2
∑a
= s2+a3
= a1+a2+a3+…+an =
∑a
i
= sn–1+an
i=1
i=1
3
s3 = a1+a2+a3
€
=
i
€
i=1
Beispiele:
an = n
€
bn = 1/n
sn = 1+2+3+...+n = 1/2·n·(n+1)
Verallgemeinerung des Beispiels von Gauss.
sn = 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n
Dies ist die sog. Harmonische Reihe. Es gibt keine explizite Formel für sn.
n
cn = 1/2
sn = 1/2+1/4+1/8+…1/2n = 1–1/2n
dn = n2
sn = 1+4+9+...+n2 = 1/6·n·(n+1)·(n+2)
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Folgen und Reihen
6. Arithmetische Reihen
Arithmetische Reihen sind diejenigen Zahlenfolgen, die wir aus den Teilsummen der arithmetischen
Folgen gewinnen können.
Beispiel: Summe der ungeraden Zahlen
Alle ungeraden Zahlen bilden eine arithmetische Folge mit a1 = 1, d = 2
a1 = 1
s1 = a 1 = 1
a2 = 3
s2 = s1+a2 = 4
a3 = 5
s3 = s2+a3 = 9
a4 = 7
s4 = s3+a4 = 16
Die Reihe lautet also 1, 4, 9, 16, ... . Gilt womöglich sn = n2?
Wir wollen gerade allgemein die Glieder sn einer arithmetischen Reihen berechnen:
I
sn
=
a1
+ (a1+d)
+ (a1+2d)
+ (a1+3d) + ...
+ [a1+(n–2).d]
+ [a1+(n–1).d]
II
sn
=
an
+ (an–d)
+ (an–2d)
+ (an–3d) + ...
+ [an–(n–2).d]
+ [an–(n–1).d]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------I+II
2sn =
(a1+an)
2sn =
n·(a1+an)
sn
n/2·(a1+an)
=
+ (a1+an)
+ (a1+an)
+ (a1+an) + ...
+ (a1+an)
+ (a1+an)
Aufgaben
6.1. Beweisen Sie jetzt mit Hilfe der allgemeinen Summenformel: Die Summe aller n ungeraden Zahlen
von 1 bis 2n–1 ist gleich n2 für jede beliebige natürliche Zahl n.
6.2. Formen Sie die allgemeine Formel für sn derart um, dass wir sn mit Hilfe von a1 und d statt mit a1 und
an berechnen können.
6.3. Berechnen Sie die Summe der dreistelligen Zahlen, die durch 7 teilbar sind.
6.4. Bei einer arithmetischen Reihe ist s5 = 165 und s15 = 120.
Wie lautet das erste Glied der zugehörigen Folge?
6.5. Wie viele Schläge macht eine Uhr in 24 Stunden, wenn Sie nur die vollen Stunden schlägt?
Lösungen
6.2. sn = n·a1+d/2·n·(n–1). 6.3. 70'336. 6.4. a1 = 43, d = –5. 6.5. 156.
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7. Geometrische Reihen
Geometrische Reihen sind diejenigen Zahlenfolgen, die wir aus den Teilsummen der geometrischen
Folgen gewinnen können.
Beispiel: Ein Kind spielt mit verschieden grossen Holzwürfeln. Die Kantenlängen der Würfel betragen
10 cm, 5 cm, 2.5 cm, 1.25 cm etc.
Wie hoch wird ein Turm mit 5, 10, n Würfeln?
Die Würfelkantenlängen bilden eine geometrische Reihe mit a1 = 10, q = 1/2.
a1 = 10
s1 = a1 = 10
a2 = 5
s2 = s1+a2 = 15
a3 = 2.5
s3 = s2+a3 = 17.5
a4 = 1.25
s4 = s3+a4 = 18.75

an = 10·0.5n–1
sn = ?
Berechnen wir das n–te Glied sn einer geometrischen Reihe analog zum letzten Kapitel allgemein:
I
sn
=
II
q.sn
=
a1 +
a1.q
+ a1.q2
+ ...
+ a1.qn–2
+ a1.qn–1
a1.q
+ a1.q2
+ ...
+ a1.qn–2
+ a1.qn–1
+ a1.qn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------II–I
q.sn–sn
=
a1.qn – a1
sn·(q–1)
=
a1·(qn–1)
sn
=
a1 ⋅
qn − 1
1− qn
= a1 ⋅
q −1
1− q
Aufgaben
7.1. Berechnen €
Sie die Höhen der Türme aus der Beispiel–Aufgabe.
7.2. Gegeben seien geometrische Reihen. Berechnen Sie die fehlenden Grössen.
a) q = 5, s8 = 195'312, a1 = ?
b) a1 = 7, a10 = 3'584, s15 = ?
c) a1 = 2, q = 3, sn = 177'146, n = ?, an = ?
7.3. Vier Zahlen bilden eine geometrische Folge. Die Summe der ersten beiden Glieder ist 48, die Summe
der nächsten zwei Glieder 12. Wie heissen die Zahlen?
7.4. Diese Aufgabe bezieht sich auf die Abbildungen im Kapitel über geometrische Zahlenfolgen:
Berechnen Sie den Flächeninhalt der schwarzen Spirale für 5, 10, n Dreiecke.
Lösungen
7.1. 19.375, 19.98 (gerundet). 7.2.a) 2; b) 229'369; c) 11, 118'098.
7.3. 2 Lösungen: 32, 16, 8, 4 oder 96, –48, 24, –12. 7.4. 0.4844, 0.4995, sn = 1/4·(1–(1/2)n).
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