Übungen

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Folgen und Reihen 1: Grundlagen
1.
Bestimmen Sie die ersten fünf Glieder der Folge.
a) a1 = 0, an+1 = 3·an+3n
2.
b) a1 = 2, a2 = 1, an+2 = an.an+1–n
Von einer arithmetischen Folge sind a20 = 11.11 und d = –0.77 bekannt.
Berechnen Sie a7!
3.
Diese Folgen und Reihen sind arithmetisch. Berechnen Sie die fehlenden Grössen!
a) an = 107, d = 5.2, sn = 123, a1 = ?, n = ?
b) a1 = 207, s46 = 207, a46 = ?, d = ?
4.
Berechnen Sie das erste Glied der geometrische Folge mit a2 = 20 und a5 = 10.24.
5.
Diese Folgen und Reihen sind geometrisch. Wie lauten die fehlenden Grössen?
a) q = –3, s12 = 398'580, a1 = ?, a12 = ?
b) a6 = 0.16, q = 0.2, a1 = ?, s6 = ?
6.
Schalten Sie zwischen 48 und 243 drei Zahlen so ein, dass eine arithmetische (geometrische) Folge
mit fünf Gliedern entsteht!
7.
Das 4. und das 14. Glied einer arithmetischen Folge haben zusammen den Wert 22; das 9. Glied ist
um 4 grösser als das 4. Glied.
Wie heisst das 1. Glied der Folge?
8.
Bei einer geometrischen Folge beträgt die Summe des 1.
und 3. Gliedes –26, die Summe des 2. und 4. Gliedes 39.
Wie heissen diese Glieder?
9.
Die drei Zahlen a, b, c mit dem Summenwert 3 bilden in
dieser Reihenfolge eine arithmetische Folge, in der Reihenfolge b, a, c eine geometrische Folge.
Wie heissen die Zahlen?
10. Was für eine Folge bilden die Seiten der nebenstehenden
Dreiecke?
Lösungen
1a) 0, 3, 18, 81, 324; b) 2, 1, 1, –1, –4. 2) 21.12. 3a) a1 = –101, n = 41; b) a46 = –198, d = –9. 4) 25.
5a) a1 = –3; a12 = 531'441; b) a1 = 500, s6 = 624.96. 6) 96.75, 145.5, 194.25 (2 Lösungen: ±72, 108, ±162). 7) 4.6.
8) –8, 12, –18, 27. 9) a = –2, b = 1, c = 4 und a = b = c = 1. 10) Geometrische F. mit a1 = 1 und q = 1/2.
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Folgen und Reihen 2: Anspruchsvollere Aufgaben
1.
Bauen Sie nach dem folgenden Schema Türme aus Klötzchen!
n=1
n=2
n=3
a) Berechnen Sie die Zahl der notwendigen Klötze für 1, 2, 3, 4, 5 und 10 Stockwerke.
b) Welche Formel gibt die Zahl der notwendigen Klötze für n Stockwerke an?
Können Sie Ihre Formel beweisen?
Eine Seitenfläche gelte als sichtbar, wenn sie von irgend einer Seite her frei zugänglich ist.
Beispiel: Für n = 1 ergeben sich 8 sichtbare und 4 unsichtbare Seitenflächen.
c) Berechnen Sie die Zahl der sichtbaren und unsichtbaren Seitenflächen für 1, 2, 3, 4, 5 und 10
Stockwerke.
d) Finden Sie auch für die Zahl der sichtbaren und unsichtbaren Seitenflächen allgemeine Formeln
für n Stockwerke.
Können Sie diese beweisen?
2.
Sicher haben Sie schon einmal versucht, mit Jasskarten einen Turm zu bauen.
n=1
n=2
n=3
n=4
a) Wie viele Karten sind für Stockwerk 1, 2, 3, 4, 5, 10 und n nötig?
b) Wie viele Karten sind insgesamt für 1, 2, 3, 4, 5, 10 und n Stockwerke nötig?
Wie hoch kann ein Turm werden, wenn Sie 36 Karten zur Verfügung haben?
Wie hoch wird er mit 100, 1000 Karten?
Lösungen
1b) n·(n+1); d) sichtbar: 2n·(n+3), unsichtbar: 4n2. 2a) 2+3·(n–1), b) 1/2·n·(3n+1), 4, 8, 25.