Brückenkurs Schulmathematik 4. Veranstaltung: Arithmetik 3
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Brückenkurs Schulmathematik 4. Veranstaltung: Arithmetik 3: Umrechnen von Größen, Proportionalität, Prozentrechnung, Mittelwerte, Potenzieren 25. Mai 2016 Die Aufgaben zum Teil in Anlehnung an: Cukrowitz et al. (2006): Mathenetz 7 Gymnasium. und Mathenetz 8 Gymnasium Ausgabe N, Braunschweig: Westermann. 1. Umrechnen von Größen 1. Aufgabe: Ordnen Sie der Größe nach! a. 1,250 km b. 3,03l 2 h 3 d. 48.000 g e. 1 ha c. 12,5 m 330 cm3 12.500 cm 3,3 dm3 23 min 2300 sec 4,8 kg 0,1 km2 4800 mg 1000 m2 10,25 dm 0,33 m 33 dl 3 1 Tag 48 0,48 t 100.000 dm2 2. Aufgabe: In der obigen Aufgabe kommen folgende Vorsätze in den Maßeinheiten vor: a. Milli b. Centi c. Dezi d. Kilo Drücken Sie die Bedeutung dieser Vorsätze mithilfe von Zehnerpotenzen aus! Sind Ihnen weitere Vorsätze bekannt? Wie könnte man deren Bedeutung durch Zehnerpotenzen ausdrücken? 2. Proportionalität 3. 4. 5. Aufgabe: Lesen Sie die folgenden Textaufgaben durch! Bei welcher Aufgabe geht es um einen proportionalen/antiproportionalen Zusammenhang? Begründen Sie Ihre Meinung! Lösen Sie anschließend die Aufgaben! Aufgabe: Ein Auto verbraucht auf 100 km durchschnittlich 8 l Benzin. a. Wie viel Liter verbraucht es auf 50/200/30 Kilometern? b. Reicht es, den 45 l großen Tank einmal vollzutanken, wenn man von Jena einen Ausflug nach Nürnberg machen möchte? (Entfernung Jena-Nürnberg: 221 km) c. Wie weit kann es mit einem, mit 5, mit 10 Litern fahren? Aufgabe: Auf Jenas Straßen soll an einem schneereichen Wintertag der Schnee geräumt werden. Die Kommune verfügt über 15 Schneeräumer, die den Schnee üblicherweise in 16 Stunden entfernen können. Es sind heute allerdings 3 kaputt. a. Wie lange wird die Räumung voraussichtlich dauern? b. Wie viele Maschinen wären notwendig, um den Schnee an einem Arbeitstag (d.h. in 8 Stunden) räumen zu können? 3. Prozentrechnung 6. Aufgabe: Die Stadt Jena hatte im Jahr 2000 97.081 Einwohner, zehn Jahre später waren es 103.714. a. Um wie viel Prozent hat die Einwohnerzahl in diesem Jahrzehnt zugenommen? b. Mit wie vielen Einwohnern ist im Jahr 2020 zu rechnen, wenn die Zahl der Einwohner von 2010 bis 2020 um ebenso viele Menschen zunimmt wie im Jahrzehnt zuvor? Wie viel Prozent Zuwachs sind das im Vergleich zur Einwohnerzahl im Jahre 2010? c. Auf wie viele Menschen wird die Einwohnerzahl bis zum Jahr 2020 wachsen, wenn sie von 2010 bis 2020 um den gleichen Anteil wächst wie im Jahrzehnt davor? 7. Aufgabe: Besprechen Sie im Plenum anhand der obigen Aufgabe, was folgende Begriffe bedeuten: Prozent, Prozentsatz, Prozentzahl, Grundwert, Prozentwert! 8. Aufgabe: Ordnen Sie zu: Grundwert Prozentsatz Prozentwert Prozentzahl Zinssatzzahl Zinssatz Jahreszinsen Kapital 9. Aufgabe: Bettina hat ein Sparguthaben von 5000 Euro bei der Bank Sowieso, in welcher die Zinsen jährlich ausgezahlt werden. Der Zinssatz beträgt in dieser Bank zurzeit 2 %. Berechnen Sie das Endkapital, wenn Bettina das Geld a. fünf Monate bzw. b. 6 Jahre lang verzinsen lässt! c. In wie vielen Jahren würde sich das Kapital verdoppeln? d. Zu welchem Zinssatz soll das Kapital angelegt werden, damit es in 6 Jahren auf mindestens 8000 Euro anwächst? 10. Aufgabe: Wie verändern sich die Antworten aus Aufgabe 10, wenn die Zinsen jährlich dem Kapital zugeschlagen werden? 11. Aufgabe: Auf welchen Betrag wachsen 5000, - € in 6 Jahren bei einer Verzinsung von 2% an, wenn die Zinsen a. jährlich b. halbjährlich c. vierteljährlich d. monatlich dem Kapital zugeschlagen werden? 4. Mittelwerte Das arithmetische Mittel m der Zahlen a und b mit ab ist diejenige Zahl, die die gleiche Entfernung von a und von b hat, es gilt also: b –m = m – a, d.h.: m ab . 2 Das geometrische Mittel g der Zahlen a und b mit 0ab ist diejenige Zahl, die das gleiche Verhältnis zu a und zu b hat, es gilt also: b : g = g : a, d.h.: g a b 12. Aufgabe: Versuchen Sie, das arithmetische und das geometrische Mittel geometrisch zu interpretieren! (Hinweis: Streckenteilung, Höhensatz) 13. Aufgabe: Für jedes Zahlenpaar a und b mit 0ab gilt die sog. arithmetisch-geometrische Ungleichung: ab a b 2 und die Gleichheit gilt genau dann, wenn a=b. Zeigen Sie durch geometrische Interpretation der Mittelwerte die Richtigkeit dieses Satzes! Für das harmonische Mittel h der Zahlen a und b mit 0ab gilt, dass dessen Kehrwert das arithmetische Mittel der Kehrwerte von a und b ist, also: 1 1 2 2 2ab 1 a b oder h 1 1 ba ab h 2 a b ab 14. Aufgabe: Bestimmen Sie das geometrische Mittel des arithmetischen und des harmonischen Mittels von a und b! 15. *Aufgabe: Zeigen Sie durch geometrische Interpretation der Mittelwerte, dass für jedes ab 2 ab Zahlenpaar a und b mit 0ab gilt! 1 1 2 a b 16. Aufgabe: Definieren Sie anhand der bisherigen Zusammenhänge das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel von n natürlichen Zahlen! 5. Potenzieren 17. Aufgabe: Welche Zahl ist größer: 5 7 4 1 oder ? 38 39 310 37 18. Aufgabe: Vereinfachen Sie folgenden Term, notieren Sie bei jedem Schritt, welches Potenzgesetz Sie verwendet haben! 9 x y : 3xy 5x y 5xy 2 3 4 2 6 3 4 3 5 3 ; x 0, y 0 19. Aufgabe: Berechnen Sie den genauen Wert der folgenden Terme: 2 7 3 3 b. 12 23 12 23 214 8 8 7 mit dem Iterationsverfahren nach Heron (hierzu: 20. Aufgabe: Bestimmen Sie a. 3 40 3 16 Cukrowitz et al. (2006): Mathenetz 8 Gymnasium Ausgabe N, Braunschweig: Westermann, S. 184-185.), wählen Sie 4 als Startwert und führen Sie drei Schritte durch! Bestimmen Sie dabei auch die Genauigkeit des Ergebnisses! 21. Aufgabe: Vereinfachen Sie folgende Terme! Notieren Sie bei jedem Schritt, welches Logarithmengesetz Sie verwendet haben! lg 2 lg 8 lg 4 a. 1 c. lg log 3 90 log 3 10 2 lg 5 1 25 b. log 2 3 log 2 4 log 4 4 8 log 2 2 25 : log 4 4 4 d.
